Distribución Normal
Vea cómo encontrar la probabilidad de una distribución normal
(Puntaze z).
6 ejemplos y sus soluciones.
Distribución Normal: Definición
Definición
N(x, σ2)
x: Media σ: Desviación Estándar
Si la forma del histograma se parece esto,
entonces los valores muestran una distribución normal.
Se puede encontrar cuando n es lo suficientemente grande.
(puntaje de prueba, tamaño de la fruta, tiempo de sueño, ...)
Distribución Normal Estándar
Fórmula
N(0, 12)
La distribución normal estándar se utilizapara comparar y analizar una distribución normal fácilmente.
Cada distribución normal tiene una media y una desviación estándar diferentes.
Pero sus formas son todas iguales.
→ Estandarizado: distribución normal estándar
Puntaze z
Fórmula
Z = X - xσ
El puntaje z se usapara cambiar N(x, σ2) a N(0, 12).
Cómo Utilizar
P(0 ≤ Z ≤ z): Área (conocida)
puede encontrar el área (= probabilidad) bajo de la curva.
Para cada puntaje z,
se conoce el área bajo la curva.
(área total) = 1
(zona media izquierda) = (zona media derecha) = 0,5
La curva es simétrica al eje central (Z = 0).
Otros valores: Tabla de puntaje z
Ejemplo
P(0 ≤ Z ≤ 1) = ?
Solución | z | P(0 ≤ Z ≤ z) |
|---|---|
| 1 | 0,3413 |
| 2 | 0,4771 |
| 3 | 0,4987 |
P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0,3413
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Ejemplo
P(Z ≥ -2) = ?
Solución | z | P(0 ≤ Z ≤ z) |
|---|---|
| 1 | 0,3413 |
| 2 | 0,4771 |
| 3 | 0,4987 |
P(Z ≥ -2)
= P(-2 ≤ Z ≤ 0) + P(Z ≥ 0)
= P(0 ≤ Z ≤ 2) + P(Z ≥ 0) - [1]
= 0,4771 + 0,5
= 0,9771
[1]
La curva es simétrica al eje central.
→ P(-2 ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z ≤ 2)
→ P(-2 ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z ≤ 2)
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Ejemplo
P(1 ≤ Z ≤ 3) = ?
Solución | z | P(0 ≤ Z ≤ z) |
|---|---|
| 1 | 0,3413 |
| 2 | 0,4771 |
| 3 | 0,4987 |
P(1 ≤ Z ≤ 3)
= P(0 ≤ Z ≤ 3) - P(0 ≤ Z ≤ 1)
= 0,4987 - 0,3413
= 0,1514
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Distribución Normal
Cómo Resolver
N(x, σ2)
↓
N(0, 1)
1. Estandarice la distribución normal dada. ↓
N(0, 1)
N(x, σ2) → N(0, 12)
2. Utilice la tabla de puntaje z para encontrar la probabilidad.
Ejemplo
Los puntajes de las pruebas de 1.000 estudiantes se distribuyen normalmente.
Media: 70. Desviación estándar: 7.
Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes obtienen una entre 63 puntaje y 84 puntaje?
Solución Media: 70. Desviación estándar: 7.
Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes obtienen una entre 63 puntaje y 84 puntaje?
| z | P(0 ≤ Z ≤ z) |
|---|---|
| 1 | 0,3413 |
| 2 | 0,4771 |
| 3 | 0,4987 |
N(70, 72)
P(63 ≤ X ≤ 84)
Z = 63 - 707
= -77
= -1
Z = 84 - 707
= 147
= 2
= P(-1 ≤ Z ≤ 2) - [1]
= P(-1 ≤ Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 2)
= P(0 ≤ Z ≤ 1) + P(0 ≤ Z ≤ 2) - [2]
= 0,3413 + 0,4771
= 0,8184
E(X) = 1000⋅0,8184 - [3]
= 818,4
→ 818 - [4]
P(63 ≤ X ≤ 84)
Z = 63 - 707
= -77
= -1
Z = 84 - 707
= 147
= 2
= P(-1 ≤ Z ≤ 2) - [1]
= P(-1 ≤ Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 2)
= P(0 ≤ Z ≤ 1) + P(0 ≤ Z ≤ 2) - [2]
= 0,3413 + 0,4771
= 0,8184
E(X) = 1000⋅0,8184 - [3]
= 818,4
→ 818 - [4]
[1]
N(70, 72)
P(63 ≤ X ≤ 84)
↓
N(0, 12)
P(-1 ≤ Z ≤ 2)
P(63 ≤ X ≤ 84)
↓
N(0, 12)
P(-1 ≤ Z ≤ 2)
[2]
La curva es simétrica al eje central.
→ P(-1 ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z ≤ 1)
→ P(-1 ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z ≤ 1)
[4]
Redondea 818,4 a los unos.
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Ejemplo
Los puntajes de las pruebas de 1.000 estudiantes se distribuyen normalmente.
Media: 70. Desviación estándar: 7.
Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes obtienen 77 puntos o menos?
Solución Media: 70. Desviación estándar: 7.
Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes obtienen 77 puntos o menos?
| z | P(0 ≤ Z ≤ z) |
|---|---|
| 1 | 0,3413 |
| 2 | 0,4771 |
| 3 | 0,4987 |
N(70, 72)
P(X ≤ 77)
Z = 77 - 707
= 77
= 1
= P(Z ≤ 1) - [1]
= P(Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1)
= 0,5 + 0,3413
= 0,8413
E(X) = 1000⋅0,8413
= 841,3
→ 841
P(X ≤ 77)
Z = 77 - 707
= 77
= 1
= P(Z ≤ 1) - [1]
= P(Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1)
= 0,5 + 0,3413
= 0,8413
E(X) = 1000⋅0,8413
= 841,3
→ 841
[1]
N(70, 72)
P(X ≤ 77)
↓
N(0, 12)
P(Z ≤ 1)
P(X ≤ 77)
↓
N(0, 12)
P(Z ≤ 1)
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Distribución Binomial a Aproximación Normal
Cómo Resolver
B(n, p)
↓
N(np, npq)
↓
N(0, 12)
1. Encuentra x = np, σ = √npq. ↓
N(np, npq)
↓
N(0, 12)
Si n es lo suficientemente grande,
puede aproximar B(n, p) = N(np, npq).
Distribución Binomial
2. Estandariza.
N(np, npq) → N(0, 12)
3. Utilice la tabla de puntaje z para encontrar la probabilidad.
Ejemplo
Una moneda se lanza 400 veces.
Calcula la probabilidad de obtener una cabeza de 185 ~ 210 veces.
Solución Calcula la probabilidad de obtener una cabeza de 185 ~ 210 veces.
| z | P(0 ≤ Z ≤ z) |
|---|---|
| 0.5 | 0,1915 |
| 1 | 0,3413 |
| 1.5 | 0,4332 |
| 2 | 0,4771 |
B(400, 12) - [1]
q = 1 - 12
= 22 - 12
= 12
N(400⋅12, 400⋅12⋅12) - [2]
= N(200, 100)
= N(200, 102) - [3]
P(185 ≤ X ≤ 210)
Z = 185 - 20010
= -1510
= -1.5
Z = 210 - 20010
= 1010
= 1
= P(-1,5 ≤ Z ≤ 1) - [4]
= P(-1,5 ≤ Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1)
= P(0 ≤ Z ≤ 1,5) + P(0 ≤ Z ≤ 1)
= 0,4332 + 0,3413
= 0,7745
q = 1 - 12
= 22 - 12
= 12
N(400⋅12, 400⋅12⋅12) - [2]
= N(200, 100)
= N(200, 102) - [3]
P(185 ≤ X ≤ 210)
Z = 185 - 20010
= -1510
= -1.5
Z = 210 - 20010
= 1010
= 1
= P(-1,5 ≤ Z ≤ 1) - [4]
= P(-1,5 ≤ Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1)
= P(0 ≤ Z ≤ 1,5) + P(0 ≤ Z ≤ 1)
= 0,4332 + 0,3413
= 0,7745
[1]
[3]
B(400, 1/2)
↓
N(200, 102)
x = 200
σ = 10
↓
N(200, 102)
x = 200
σ = 10
[4]
N(200, 102)
P(185 ≤ X ≤ 210)
↓
N(0, 12)
P(-1,5 ≤ Z ≤ 1)
P(185 ≤ X ≤ 210)
↓
N(0, 12)
P(-1,5 ≤ Z ≤ 1)
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