División Sintética
Vea cómo hacer la división sintética
para factorizar un polinomio
un polinomio y resolver una ecuación/desigualdad polinomial.
13 ejemplos y sus soluciones.
División Sintética
Ejemplo
x3 - 7x + 11x - 2
Solución x3 - 7x + 11x - 2
10-711 - [1]
2 - [2]
↓
10-711
224-6
12-35 - [3]
(dada) = x2 + 2x - 3 + 5x - 2 - [4]
10-711 - [1]
2 - [2]
↓
10-711
224-6
12-35 - [3]
(dada) = x2 + 2x - 3 + 5x - 2 - [4]
[1]
Numerador: 1x3 + 0x2 - 7x + 11
Escribe los coeficientes:
1, 0, -7, 11.
Escribe los coeficientes:
1, 0, -7, 11.
[2]
2: Cero de x - 2
[3]
↓: (+)
↗: ×2
Comience desde la parte superior izquierda 1.
↓: 1 + 0 = 1
↗: 1 × 2 = 2
↓: 0 + 2 = 2
↗: 2 × 2 = 4
↓: -7 + 4 = -3
↗: -3 × 2 = -6
↓: 11 + (-6) = 5
Dibuja una forma de L
que cubra 5.
↗: ×2
Comience desde la parte superior izquierda 1.
↓: 1 + 0 = 1
↗: 1 × 2 = 2
↓: 0 + 2 = 2
↗: 2 × 2 = 4
↓: -7 + 4 = -3
↗: -3 × 2 = -6
↓: 11 + (-6) = 5
Dibuja una forma de L
que cubra 5.
[4]
1, 2, -3: Coeficientes del cociente
→ (cociente) = x2 + 2x - 3
2: Cero de x - 2
5: Resto
→ (cociente) = x2 + 2x - 3
2: Cero de x - 2
5: Resto
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Ejemplo
2x4 + x3 - 5x2 + 3x + 4x + 1
Solución 2x4 + x3 - 5x2 + 3x + 4x + 1
21-534
-1-214-7
2-1-47-3 - [1]
(dada) = 2x3 - x2 - 4x + 7 - 3x + 1
21-534
-1-214-7
2-1-47-3 - [1]
(dada) = 2x3 - x2 - 4x + 7 - 3x + 1
[1]
↓: (+)
↗: ×(-1)
Comience desde la parte superior izquierda 2.
↓: 2 + 0 = 2
↗: 2 × (-1) = -2
↓: 1 + (-2) = -1
↗: -1 × (-1) = 1
↓: -5 + 1 = -4
↗: -4 × (-1) = 4
↓: 3 + 4 = 7
↗: 7 × (-1) = -7
↓: 4 + (-7) = -3
↗: ×(-1)
Comience desde la parte superior izquierda 2.
↓: 2 + 0 = 2
↗: 2 × (-1) = -2
↓: 1 + (-2) = -1
↗: -1 × (-1) = 1
↓: -5 + 1 = -4
↗: -4 × (-1) = 4
↓: 3 + 4 = 7
↗: 7 × (-1) = -7
↓: 4 + (-7) = -3
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Teorema del Resto
Fórmula
El resto de f(x)x - a
→ f(a)
Al usar el teorema del resto,→ f(a)
puede encontrar el resto de f(x)/(x - a)
sin hacer la división completa.
Solo encuentra f(a).
(a: Cero de x - a)
Ejemplo
x3 - 7x + 11x - 2
¿Resto?
Solución ¿Resto?
x3 - 7x + 11x - 2
(resto) = f(2)
= 23 - 7⋅2 + 11
= 8 - 14 + 11
= 8 - 3
= 5
(resto) = f(2)
= 23 - 7⋅2 + 11
= 8 - 14 + 11
= 8 - 3
= 5
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Ejemplo
(2x4 + x3 - 5x2 + 3x + 4) ÷ (x + 1)
¿Resto?
Solución ¿Resto?
(2x4 + x3 - 5x2 + 3x + 4) ÷ (x + 1)
(resto) = f(-1)
= 2⋅(-1)4 + (-1)3 - 5⋅(-1)2 + 3⋅(-1) + 4
= 2⋅1 + (-1) - 5⋅1 + 3⋅(-1) + 4
= 2 - 1 - 5 - 3 + 4
= 1 - 8 + 4
= -7 + 4
= -3
(resto) = f(-1)
= 2⋅(-1)4 + (-1)3 - 5⋅(-1)2 + 3⋅(-1) + 4
= 2⋅1 + (-1) - 5⋅1 + 3⋅(-1) + 4
= 2 - 1 - 5 - 3 + 4
= 1 - 8 + 4
= -7 + 4
= -3
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Sustitución Sintética
Fórmula
f(x)
a...
f(a)
Al hacer la división sintética,a...
f(a)
el resto es el número inferior derecho.
Y según el teorema del resto,
el resto de f(x)/(x - a) es f(a).
Entonces (número inferior derecho) = (resto) = f(a).
Entonces puedes encontrar f(a)
encontrando el resto de la división sintética.
Cuando f(x) es complejo,
este método le ahorrará tiempo.
Ejemplo
f(x) = x4 - 9x3 + 15x2 + 3x - 62
f(7) = ?
Solución f(7) = ?
1-9153-62
77-14770
1-21108 = f(7)
∴ f(7) = 8
77-14770
1-21108 = f(7)
∴ f(7) = 8
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Teorema del Factor
Teorema
Si f(a) = 0,
entonces f(x) = (x - a)(cociente).
Si f(a) = 0,entonces f(x) = (x - a)(cociente).
entonces, según el teorema del resto,
el resto de f(x)/(x - a) es 0.
Entonces f(x) = (x - a)(cociente).
Este es el teorema del factor.
Si f(a) = 0, f(b) = 0, ... ,
then f(x) = (x - a)(x - b)(cociente).
Entonces, si a y b son los ceros de f(x),then f(x) = (x - a)(x - b)(cociente).
entonces f(x) = (x - a)(x - b)(cociente).
Fórmula
f(x)
a...
0
b...
(cociente)0
f(x) = (x - a)(x - b)(cociente)
Mezclemos el teorema del factora...
0
b...
(cociente)0
f(x) = (x - a)(x - b)(cociente)
y la división sintética.
Para factorizar f(x),
haz la división sintética
y encuentra los ceros [a, b, ...]
que hacen que el resto sea 0.
Ejemplo
x3 + 3x2 - 16x + 12
Solución 13-1612
114-12
14-120 - [1]
2212
160 - [2]
f(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 6)
114-12
14-120 - [1]
2212
160 - [2]
f(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 6)
[1]
Elija un número
que parezca que el resto es 0.
1 parece ser bueno.
[cuando (suma de los coeficientes) = 0]
El resto es 0.
Así que eligió el número correcto.
que parezca que el resto es 0.
1 parece ser bueno.
[cuando (suma de los coeficientes) = 0]
El resto es 0.
Así que eligió el número correcto.
[2]
1, 4, -12
→ x2 + 4x - 12
Esto parece ser factorizable.
Entonces haz la división sintética de nuevo.
Elija un número
que parezca hacer que el resto sea 0.
2 parece ser bueno.
El resto es 0.
Así que eligió el número correcto.
→ x2 + 4x - 12
Esto parece ser factorizable.
Entonces haz la división sintética de nuevo.
Elija un número
que parezca hacer que el resto sea 0.
2 parece ser bueno.
El resto es 0.
Así que eligió el número correcto.
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Ejemplo
x4 - 2x3 - 4x2 - 2x + 3
Solución 1-2-4-23
11-1-5-3
1-1-5-30
-1-123
1-2-30
-1-1-3
1-30
f(x) = (x - 1)(x + 1)2(x - 3)
11-1-5-3
1-1-5-30
-1-123
1-2-30
-1-1-3
1-30
f(x) = (x - 1)(x + 1)2(x - 3)
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Ejemplo
x4 + x3 - 5x2 + x - 6
Solución 11-51-6
22626
13130
-3-30-3
1010 - [1]
f(x) = (x - 2)(x + 3)(x2 + 1)
22626
13130
-3-30-3
1010 - [1]
f(x) = (x - 2)(x + 3)(x2 + 1)
[1]
1, 0, 1
→ x2 + 1
x2 + 1 es siempre (+).
(x2 ≥ 0
x2 + 1 ≥ 1)
Entonces x2 + 1 no tiene ceros.
Entonces x2 + 1 no es factorizable.
Entonces establecer (cociente) = (x2 + 1).
Para comprobar si una expresión cuadrática tiene cero(s),
encuentre el discriminante D.
→ x2 + 1
x2 + 1 es siempre (+).
(x2 ≥ 0
x2 + 1 ≥ 1)
Entonces x2 + 1 no tiene ceros.
Entonces x2 + 1 no es factorizable.
Entonces establecer (cociente) = (x2 + 1).
Para comprobar si una expresión cuadrática tiene cero(s),
encuentre el discriminante D.
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Ecuación Polinomial
Ejemplo
x4 + 4x3 - 3x2 - 10x + 8 = 0
Solución 14-3-10+8
1152-8
152-80
1168
1680
-2-2-8
140
(x - 1)2(x + 2)(x + 4) = 0
x = 1, -2, -4
= -4, -2, 1
1152-8
152-80
1168
1680
-2-2-8
140
(x - 1)2(x + 2)(x + 4) = 0
x = 1, -2, -4
= -4, -2, 1
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Desigualdad Polinomial
Fórmula
(x - a)impar(x - a)par
entonces y = f(x) pasa por el eje x
en x = a.
Si f(x) = (x - a)par(cociente),
entonces y = f(x) rebota en el eje x
en x = a.
Usa esta fórmula
cuando gráfica de y = f(x) en el eje x
para resolver una desigualdad polinomial.
Ejemplo
x4 - x2 < 0
Solución x4 - x2 < 0
x2(x2 - 1) < 0
x2(x + 1)(x - 1) < 0 - [1]
(x + 1)x2(x - 1) < 0
x2(x2 - 1) < 0
x2(x + 1)(x - 1) < 0 - [1]
(x + 1)x2(x - 1) < 0
[2]
Dibuja y = (x + 1)x2(x - 1)
en el eje x.
El término de orden más alto es x4.
Su coeficiente es 1: (+).
Así que empieza a dibujar el gráfico
desde la parte superior derecha del eje x.
(x - 1) = (x - 1)1 = (x - 1)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = 1.
x2 = xpar
Entonces, el gráfico rebota en el eje x
en x = 0.
(x + 1) = (x + 1)1 = (x + 1)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = -1.
en el eje x.
El término de orden más alto es x4.
Su coeficiente es 1: (+).
Así que empieza a dibujar el gráfico
desde la parte superior derecha del eje x.
(x - 1) = (x - 1)1 = (x - 1)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = 1.
x2 = xpar
Entonces, el gráfico rebota en el eje x
en x = 0.
(x + 1) = (x + 1)1 = (x + 1)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = -1.
↓
-1 < x < 0, 0 < x < 1
[3]
(x + 1)x2(x - 1) < 0
Colorea la región
donde el gráfico está debajo del eje x.
El signo de desigualdad, <, no incluye '='.
Entonces dibuja círculos vacíos en x = -1, 0, 1.
Colorea la región
donde el gráfico está debajo del eje x.
El signo de desigualdad, <, no incluye '='.
Entonces dibuja círculos vacíos en x = -1, 0, 1.
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Ejemplo
x3 + x2 - 10x + 8 ≥ 0
Solución 11-108
112-8
12-80
228
140
(x - 1)(x - 2)(x + 4) ≥ 0
(x + 4)(x - 1)(x - 2) ≥ 0
112-8
12-80
228
140
(x - 1)(x - 2)(x + 4) ≥ 0
(x + 4)(x - 1)(x - 2) ≥ 0
[1]
Dibuja y = (x + 4)(x - 1)(x - 2)
en el eje x.
El término de orden más alto es x3.
Su coeficiente es 1: (+).
Así que empieza a dibujar el gráfico
desde la parte superior derecha del eje x.
(x - 2) = (x - 2)1 = (x - 2)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = 2.
(x - 1) = (x - 1)1 = (x - 1)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = 1.
(x + 4) = (x + 4)1 = (x + 4)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = -4.
en el eje x.
El término de orden más alto es x3.
Su coeficiente es 1: (+).
Así que empieza a dibujar el gráfico
desde la parte superior derecha del eje x.
(x - 2) = (x - 2)1 = (x - 2)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = 2.
(x - 1) = (x - 1)1 = (x - 1)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = 1.
(x + 4) = (x + 4)1 = (x + 4)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = -4.
↓
-4 ≤ x ≤ 1, x ≥ 2
[2]
(x + 4)(x - 1)(x - 2) ≥ 0
Colorea la región
donde está el gráfico sobre el eje x.
El signo de desigualdad, ≥, incluye '='.
Entonces dibuja círculos completos en x = -4, 1, 2.
Colorea la región
donde está el gráfico sobre el eje x.
El signo de desigualdad, ≥, incluye '='.
Entonces dibuja círculos completos en x = -4, 1, 2.
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Ejemplo
x4 + x3 - 5x2 + 3x ≤ 0
Solución x4 + x3 - 5x2 + 3x ≤ 0
x(x3 + x2 - 5x + 3) ≤ 0
11-53
112-3
12-30
113
130
x(x - 1)2(x + 3) ≤ 0
(x + 3)x(x - 1)2 ≤ 0
x(x3 + x2 - 5x + 3) ≤ 0
11-53
112-3
12-30
113
130
x(x - 1)2(x + 3) ≤ 0
(x + 3)x(x - 1)2 ≤ 0
[1]
Dibuja y = (x + 3)x(x - 1)2
on the x-axis.
El término de orden más alto es x4.
Su coeficiente es 1: (+).
Así que empieza a dibujar el gráfico
desde la parte superior derecha del eje x.
(x - 1)2 = (x - 1)par
Entonces, el gráfico rebota en el eje x
en x = 1.
x = x1 = ximpar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = 0.
(x + 3) = (x + 3)1 = (x + 3)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = -3.
on the x-axis.
El término de orden más alto es x4.
Su coeficiente es 1: (+).
Así que empieza a dibujar el gráfico
desde la parte superior derecha del eje x.
(x - 1)2 = (x - 1)par
Entonces, el gráfico rebota en el eje x
en x = 1.
x = x1 = ximpar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = 0.
(x + 3) = (x + 3)1 = (x + 3)impar
Entonces, el gráfico pasa por el eje x
en x = -3.
↓
-3 ≤ x ≤ 0, x = 1
[2]
(x + 3)x(x - 1)2 ≤ 0
Colorea la región
donde el gráfico está debajo del eje x.
El signo de desigualdad, ≤, incluye '='.
Entonces dibuja círculos completos en x = -3, 0, 1.
Colorea la región
donde el gráfico está debajo del eje x.
El signo de desigualdad, ≤, incluye '='.
Entonces dibuja círculos completos en x = -3, 0, 1.
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Ejemplo
x4 - x < 0
Solución x4 - x < 0
x(x3 - 1) < 0
x(x - 1)(x2 + x + 1) < 0 - [1]
D = 12 - 4⋅1⋅1
= 1 - 4
= -3 < 0 - [2]
x(x - 1) < 0 - [3]
0 < x < 1
x(x3 - 1) < 0
x(x - 1)(x2 + x + 1) < 0 - [1]
D = 12 - 4⋅1⋅1
= 1 - 4
= -3 < 0 - [2]
x(x - 1) < 0 - [3]
0 < x < 1
[2]
(x2 + x + 1) parece ser siempre (+).
Para averiguarlo,
encuentre el discriminante D.
D = -3 < 0
Entonces y = x2 + x + 1
no se encuentra con el eje x.
Entonces (x2 + x + 1) es siempre (+).
Función Cuadrática: Número de Ceros
Para averiguarlo,
encuentre el discriminante D.
D = -3 < 0
Entonces y = x2 + x + 1
no se encuentra con el eje x.
Entonces (x2 + x + 1) es siempre (+).
Función Cuadrática: Número de Ceros
[3]
x(x - 1)(x2 + x + 1) < 0
÷ (x2 + x + 1) a ambos lados.
→ x(x - 1) < 0.
÷ (x2 + x + 1) a ambos lados.
→ x(x - 1) < 0.
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