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División Sintética

Vea cómo hacer la división sintética
para factorizar un polinomio
un polinomio y resolver una ecuación/desigualdad polinomial.
13 ejemplos y sus soluciones.

División Sintética

Ejemplo

x3 - 7x + 11x - 2
Solución

Ejemplo

2x4 + x3 - 5x2 + 3x + 4x + 1
Solución

Teorema del Resto

Fórmula

El resto de f(x)x - a
→ f(a)
Al usar el teorema del resto,
puede encontrar el resto de f(x)/(x - a)
sin hacer la división completa.
Solo encuentra f(a).
(a: Cero de x - a)

Ejemplo

x3 - 7x + 11x - 2
¿Resto?
Solución

Ejemplo

(2x4 + x3 - 5x2 + 3x + 4) ÷ (x + 1)
¿Resto?
Solución

Sustitución Sintética

Fórmula

f(x)
a...
f(a)
Al hacer la división sintética,
el resto es el número inferior derecho.
Y según el teorema del resto,
el resto de f(x)/(x - a) es f(a).
Entonces (número inferior derecho) = (resto) = f(a).
Entonces puedes encontrar f(a)
encontrando el resto de la división sintética.
Cuando f(x) es complejo,
este método le ahorrará tiempo.

Ejemplo

f(x) = x4 - 9x3 + 15x2 + 3x - 62
f(7) = ?
Solución

Teorema del Factor

Teorema

Si f(a) = 0,
entonces f(x) = (x - a)(cociente).
Si f(a) = 0,
entonces, según el teorema del resto,
el resto de f(x)/(x - a) es 0.
Entonces f(x) = (x - a)(cociente).
Este es el teorema del factor.
Si f(a) = 0, f(b) = 0, ... ,
then f(x) = (x - a)(x - b)(cociente).
Entonces, si a y b son los ceros de f(x),
entonces f(x) = (x - a)(x - b)(cociente).

Fórmula

f(x)
a...
0
b...
(cociente)0

f(x) = (x - a)(x - b)(cociente)
Mezclemos el teorema del factor
y la división sintética.
Para factorizar f(x),
haz la división sintética
y encuentra los ceros [a, b, ...]
que hacen que el resto sea 0.

Ejemplo

x3 + 3x2 - 16x + 12
Solución

Ejemplo

x4 - 2x3 - 4x2 - 2x + 3
Solución

Ejemplo

x4 + x3 - 5x2 + x - 6
Solución

Ecuación Polinomial

Ejemplo

x4 + 4x3 - 3x2 - 10x + 8 = 0
Solución

Desigualdad Polinomial

Fórmula


(x - a)impar(x - a)par
Si f(x) = (x - a)impar(cociente),
entonces y = f(x) pasa por el eje x
en x = a.
Si f(x) = (x - a)par(cociente),
entonces y = f(x) rebota en el eje x
en x = a.
Usa esta fórmula
cuando gráfica de y = f(x) en el eje x
para resolver una desigualdad polinomial.

Ejemplo

x4 - x2 < 0
Solución

Ejemplo

x3 + x2 - 10x + 8 ≥ 0
Solución

Ejemplo

x4 + x3 - 5x2 + 3x ≤ 0
Solución

Ejemplo

x4 - x < 0
Solución