Elipse
Vea cómo resolver una elipse
(eje mayor/menor, focos, ecuación).
5 ejemplos y sus soluciones.
Definición
PF + PF' = (constante)
PF + PF' = (constante, eje mayor).
F, F': Focos
Elipse: x2a2 + y2b2 = 1 (a > b)
Ecuación
x2a2 + y2b2 = 1 (a > b)
a2 - b2 = c2
Eje Mayor: 2a
Eje Menor: 2b
Focos: (c, 0), (-c, 0)
El eje mayor es el diámetro más largo: 2a.a2 - b2 = c2
Eje Mayor: 2a
Eje Menor: 2b
Focos: (c, 0), (-c, 0)
El eje menor es el diámetro más corto: 2b.
a > b
Entonces los focos se ubican horizontalmente.
Al usar a2 - b2 = c2,
puede encontrar los focos (±c, 0).
Ejemplo
x225 + y216 = 1
1. ¿Eje Mayor?
2. ¿Eje Menor?
3. ¿Focos?
Solución 1. ¿Eje Mayor?
2. ¿Eje Menor?
3. ¿Focos?
x225 + y216 = 1
x252 + y242 = 1
1. (eje mayor) = 2⋅5
= 10
2. (eje menor) = 2⋅4
= 8
3. c2 = 52 - 42
= 25 - 16
= 9
c = ±3
Focos: (3, 0), (-3, 0)
x252 + y242 = 1
1. (eje mayor) = 2⋅5
= 10
2. (eje menor) = 2⋅4
= 8
3. c2 = 52 - 42
= 25 - 16
= 9
c = ±3
Focos: (3, 0), (-3, 0)
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Ejemplo
Focos: (4, 0), (-4, 0)
Eje Mayor: 10
¿Ecuación de la elipse?
Solución Eje Mayor: 10
¿Ecuación de la elipse?
c = 4
2a = 10
a = 5
52 - b2 = 42
25 - b2 = 16
-b2 = 16 - 25
-b2 = -9
b2 = 9
x252 + y29 = 1 - [2]
x225 + y29 = 1
[1]
Dibuja la elipse
y los focos (4, 0), (-4, 0).
Los focos se ubican horizontalmente.
Entonces, el eje mayor, 10,
es el diámetro horizontal.
Entonces 2a = 10.
y los focos (4, 0), (-4, 0).
Los focos se ubican horizontalmente.
Entonces, el eje mayor, 10,
es el diámetro horizontal.
Entonces 2a = 10.
[2]
a = 5
b2 = 9
Entonces la ecuación de la elipse es
x2/52 + y2/9 = 1.
b2 = 9
Entonces la ecuación de la elipse es
x2/52 + y2/9 = 1.
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Ejemplo
Focos: (0, 1), (4, 1)
Eje Mayor: 6
¿Ecuación de la elipse?
Solución Eje Mayor: 6
¿Ecuación de la elipse?
2c = 0 + 4
2c = 4
c = 2
(2, 0) → (4, 1) = (2 + 2, 0 + 1)
(x, y) → (x + 2, y + 1) - [2]
2a = 6
a = 3
32 - b2 = 22
9 - b2 = 4
-b2 = 9 - 4
-b2 = -5
b2 = 5
(x - 2)232 + (y - 1)25 = 1 - [3]
(x - 2)29 + (y - 1)25 = 1
[1]
Dibuja la elipse
y los focos (0, 1), (4, 1).
Los focos se ubican horizontalmente.
Entonces, el eje mayor, 6,
es el diámetro horizontal.
Entonces 2a = 6.
y los focos (0, 1), (4, 1).
Los focos se ubican horizontalmente.
Entonces, el eje mayor, 6,
es el diámetro horizontal.
Entonces 2a = 6.
[2]
c = 2
Entonces, el foco derecho debería ser (2, 0).
Pero el foco derecho es (4, 1).
Entonces hay una traslación
(2, 0) → (4, 1).
(4, 1) = (2 + 2, 0 + 1)
Entonces la traslación es
(x, y) → (x + 2, y + 1).
Entonces, el foco derecho debería ser (2, 0).
Pero el foco derecho es (4, 1).
Entonces hay una traslación
(2, 0) → (4, 1).
(4, 1) = (2 + 2, 0 + 1)
Entonces la traslación es
(x, y) → (x + 2, y + 1).
[3]
a = 3
b2 = 5
(x, y) → (x + 2, y + 1)
Entonces la ecuación de la elipse es
(x - 2)2/32 + (y - 1)2/5 = 1.
b2 = 5
(x, y) → (x + 2, y + 1)
Entonces la ecuación de la elipse es
(x - 2)2/32 + (y - 1)2/5 = 1.
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Elipse: x2a2 + y2b2 = 1 (a < b)
Ecuación
x2a2 + y2b2 = 1 (a < b)
b2 - a2 = c2
Eje Mayor: 2b
Eje Menor: 2a
Focos: (0, c), (0, -c)
b2 - a2 = c2
Eje Mayor: 2b
Eje Menor: 2a
Focos: (0, c), (0, -c)
Ejemplo
9x2+ 4y2 = 36
1. ¿Eje Mayor?
2. ¿Eje Menor?
3. ¿Focos?
Solución 1. ¿Eje Mayor?
2. ¿Eje Menor?
3. ¿Focos?
9x2+ 4y2 = 36
x24 + y29 = 1 - [1]
x222 + y232 = 1
1. (eje mayor) = 2⋅3
= 6
2. (eje menor) = 2⋅2
= 4
3. c2 = 32 - 22
= 9 - 4
= 5
c = ±√5
Focos: (0, √5), (0, -√5)
x24 + y29 = 1 - [1]
x222 + y232 = 1
1. (eje mayor) = 2⋅3
= 6
2. (eje menor) = 2⋅2
= 4
3. c2 = 32 - 22
= 9 - 4
= 5
c = ±√5
Focos: (0, √5), (0, -√5)
[1]
÷36 a ambos lados.
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Ejemplo
Focos: (0, 2), (0, -2)
Eje Mayor: 8
¿Ecuación de la elipse?
Solución Eje Mayor: 8
¿Ecuación de la elipse?
c = 2
2b = 8
b = 4
42 - a2 = 22
16 - a2 = 4
-a2 = 4 - 16
-a2 = -12
a2 = 12
x212 + y242 = 1 - [2]
x212 + y216 = 1
[1]
Dibuja la elipse
y los focos (0, 2), (0, -2).
Los focos están ubicados verticalmente.
Entonces, el eje mayor, 8,
es el diámetro vertical.
Entonces 2b = 8.
y los focos (0, 2), (0, -2).
Los focos están ubicados verticalmente.
Entonces, el eje mayor, 8,
es el diámetro vertical.
Entonces 2b = 8.
[2]
a2 = 12
b = 4
Entonces la ecuación de la elipse es
x2/12 + y2/42 = 1.
b = 4
Entonces la ecuación de la elipse es
x2/12 + y2/42 = 1.
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