Exponencial
Vea cómo resolver una ecuación/desigualdad/función/cambio exponencial.
13 ejemplos y sus soluciones.
Ecuación Exponencial
Ejemplo
23x - 1 = 4
Solución 23x - 1 = 4
23x - 1 = 22
3x - 1 = 2 - [1]
3x = 3
x = 1
23x - 1 = 22
3x - 1 = 2 - [1]
3x = 3
x = 1
[1]
23x - 1 = 22
Las bases son las mismas: 2.
Entonces los exponentes son los mismos.
Las bases son las mismas: 2.
Entonces los exponentes son los mismos.
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Ejemplo
3x - 5 = 94
Solución 3x - 5 = 94
3x - 5 = (32)4
= 38 - [1]
x - 5 = 8
x = 13
3x - 5 = (32)4
= 38 - [1]
x - 5 = 8
x = 13
[1]
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Ejemplo
74x + 8 = 1
Solución 74x + 8 = 1
= 70
4x + 8 = 0
4x = -8
x = -2
= 70
4x + 8 = 0
4x = -8
x = -2
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Ejemplo
125⋅5x = (125)x
Solución 125⋅5x = (125)x
53⋅5x = 25-x
53 + x = (52)-x
5x + 3 = 5-2x
x + 3 = -2x
3x = -3
x = -1
53⋅5x = 25-x
53 + x = (52)-x
5x + 3 = 5-2x
x + 3 = -2x
3x = -3
x = -1
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Ejemplo
4x = 3⋅2x + 4
Solución 4x = 3⋅2x + 4
4x - 3⋅2x - 4 = 0
(2x)2 - 3⋅2x - 4 = 0
(2x - 4)(2x + 1) = 0 - [1]
1) 2x - 4 = 0
2x = 4
= 22
x = 2
2) 2x + 1 = 0
2x = -1( x ) - [2]
x = 2
4x - 3⋅2x - 4 = 0
(2x)2 - 3⋅2x - 4 = 0
(2x - 4)(2x + 1) = 0 - [1]
1) 2x - 4 = 0
2x = 4
= 22
x = 2
2) 2x + 1 = 0
2x = -1( x ) - [2]
x = 2
[2]
2x = -1
El lado izquierdo, 2x, es (+).
El lado derecho, -1, es (-).
Entonces no hay solución para el caso 2.
El lado izquierdo, 2x, es (+).
El lado derecho, -1, es (-).
Entonces no hay solución para el caso 2.
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Desigualdad Exponencial
Ejemplo
25x - 9 > 4x
Solución 25x - 9 > 4x
25x - 9 > 22x - [1]
5x - 9 > 2x
3x > 9
x > 3
25x - 9 > 22x - [1]
5x - 9 > 2x
3x > 9
x > 3
[1]
La base 2 está en
2 > 1.
Entonces, el orden del signo de desigualdad
no cambia.
> → >
2 > 1.
Entonces, el orden del signo de desigualdad
no cambia.
> → >
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Ejemplo
116⋅(18)x ≤ (14)x
Solución 116⋅(18)x ≤ (14)x
(12)4⋅(12)3x ≤ (12)2x
(12)4 + 3x ≤ (12)2x - [1]
4 + 3x ≥ 2x - [2]
x ≥ -4
(12)4⋅(12)3x ≤ (12)2x
(12)4 + 3x ≤ (12)2x - [1]
4 + 3x ≥ 2x - [2]
x ≥ -4
[2]
La base 1/2 está en
0 < 1/2 < 1.
Entonces, el orden del signo de desigualdad
cambia.
≤ → ≥
0 < 1/2 < 1.
Entonces, el orden del signo de desigualdad
cambia.
≤ → ≥
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Función Exponencial: Gráfico
Gráfico: y = ax (a > 1)
(0, a0) = (0, 1)
2. La asíntota de la gráfica es el eje x.
(= El gráfico sigue el eje x.)
Gráfico: y = ax (0 < a < 1)
(0, a0) = (0, 1)
2. La asíntota de la gráfica es el eje x.
(= El gráfico sigue el eje x.)
Ejemplo
Grafica y = 2x.
Solución Dibujar (0, 1).
↓
Dibuja los puntos
cuando x = 1, 2, 3 y -1, -2, -3.
(1, 21) = (1, 2)
(2, 22) = (2, 4)
(3, 23) = (3, 8)
(-1, 2-1) = (-1, 1/2)
(-2, 2-2) = (-2, 1/4)
(-3, 2-3) = (-3, 1/8)
cuando x = 1, 2, 3 y -1, -2, -3.
(1, 21) = (1, 2)
(2, 22) = (2, 4)
(3, 23) = (3, 8)
(-1, 2-1) = (-1, 1/2)
(-2, 2-2) = (-2, 1/4)
(-3, 2-3) = (-3, 1/8)
↓
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Ejemplo
Grafica y = (13)x.
Solución ↓
Dibuja los puntos
cuando x = 1, 2 y -1, -2.
(1, (1/3)1) = (1, 1/3)
(2, (1/3)2) = (2, 1/9)
(-1, (1/3)-1) = (-1, 3)
(-2, (1/3)-2) = (-2, 32) = (-2, 9)
cuando x = 1, 2 y -1, -2.
(1, (1/3)1) = (1, 1/3)
(2, (1/3)2) = (2, 1/9)
(-1, (1/3)-1) = (-1, 3)
(-2, (1/3)-2) = (-2, 32) = (-2, 9)
↓
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Crecimiento/Decrecimiento Exponencial: Valor Final
Fórmula
A = A0(1 + r)t
A: Valor finalA0: Valor inicial
r: Tasa de cambio
t: Tiempo
Interés Compuesto
Crecimiento/Decrecimiento Exponencial: Tiempo
Ejemplo
La población de una ciudad es de 10.000. Si aumenta a una tasa del 7% anual, encuentre la población esperada 12 años después.
(Asuma 1,0712 = 2,252.)
Solución (Asuma 1,0712 = 2,252.)
A0 = 10000
r = 0,07 /año
t = 12 años
A = 10000⋅(1 + 0,07)12
= 10000⋅1,0712
= 10000⋅2,252
= 22520
r = 0,07 /año
t = 12 años
A = 10000⋅(1 + 0,07)12
= 10000⋅1,0712
= 10000⋅2,252
= 22520
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Ejemplo
Una sustancia radiactiva pesa 80g. Si disminuye a una tasa del 5% por minuto, encuentre el peso esperado 1 hora después.
(Asuma 0,9560 = 0,046.)
Solución (Asuma 0,9560 = 0,046.)
A0 = 80 g
r = -0,05 /minuto
t = 60 minutos
A = 80⋅(1 - 0,05)60
= 80⋅0,9560
= 80⋅0,046
= 3,68 g
r = -0,05 /minuto
t = 60 minutos
A = 80⋅(1 - 0,05)60
= 80⋅0,9560
= 80⋅0,046
= 3,68 g
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Crecimiento/Decrecimiento Exponencial Continuo: Valor Final
Fórmula
A = A0ert
A: Valor finalA0: Valor inicial
e: Número constante (= 2,71828...)
r: Tasa de cambio
t: Tiempo
Interés Compuesto
Crecimiento/Decrecimiento Exponencial Continuo: Tiempo
Constante e
Ejemplo
Una sustancia pesa 10g. Si aumenta continuamente a una velocidad del 3% por segundo, encuentre el peso esperado 1 minuto después.
(Asuma e1,8 = 6,05.)
Solución (Asuma e1,8 = 6,05.)
A0 = 10
r = 0,03 /segundo
t = 60 segundos
A = 10⋅e0,03⋅60
= 10⋅e1,8
= 10⋅6,05
= 60,5 g
r = 0,03 /segundo
t = 60 segundos
A = 10⋅e0,03⋅60
= 10⋅e1,8
= 10⋅6,05
= 60,5 g
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Ejemplo
Una sustancia radiactiva pesa 80g. Si disminuye continuamente a una tasa del 5% por minuto, encuentre el peso esperado 1 hora después.
(Asuma e-3 = 0,050.)
Solución (Asuma e-3 = 0,050.)
A0 = 80
r = -0,05 /minuto
t = 60 minutos
A = 80⋅e-0,05⋅60
= 80⋅e-3
= 80⋅0,05
= 4,0 g
r = -0,05 /minuto
t = 60 minutos
A = 80⋅e-0,05⋅60
= 80⋅e-3
= 80⋅0,05
= 4,0 g
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