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Función (Matemática)

Vea cómo resolver problemas de funciones (matemática).
20 ejemplos y sus soluciones.

Función

Definición

una x → una y
Una función es una relación que muestra
una x → una y.
x: dominio, entrada
y: rango, salida

Ejemplo

¿Función?

xy
12
21
30
43
Solución

Ejemplo

¿Función?

xy
12
22
34
41
Solución

Ejemplo

¿Función?

xy
13
21, 4
34
42
Solución

Prueba de la Línea Vertical


PasaFaila
La prueba de la línea vertical es una
forma de ver si un gráfico es una función.
Piense en una línea vertical (= una x).
Mueva la línea vertical
de izquierda a derecha.
Si la línea vertical y el gráfico
se cruzan en un punto (= uno (x, y)),
entonces el gráfico pasa la prueba.
(= La gráfica es una función.)
Si la línea vertical y el gráfico
se cruzan en más de un punto (≠ uno (x, y)),
entonces el gráfico falla la prueba.
(= La gráfica no es una función.)

Ejemplo

¿Función?

Solución

Ejemplo

¿Función?

Solución

Ejemplo

¿Función?

Solución

f(x)

Definición

f(x): una forma de escribir y
usando x.
f(x) se lee como
[f de x] o [f x].
Para encontrar f(x),
poner x
en f(x).

Ejemplo

f(x) = 3x - 1, f(2) = ?
Solución

Ejemplo

f(x) = 2x + 5, f(k) = 13, k = ?
Solución

Función Uno a Uno

Definición

una x → una y única
Una función uno a uno es una función que muestra
una x → una y única.
Entonces, si x1 → y1,
entonces no hay otra x que esté emparejada con y1.

Prueba de la Línea Horizontal


PasaFalla
La prueba de la línea horizontal es una forma
de ver si un gráfico es una función uno a uno.
Piense en una línea horizontal (= un y única).
Mueva la línea horizontal
de arriba hacia abajo.
Si la línea horizontal y el gráfico
se cruzan en un punto (= uno (x, y)),
entonces el gráfico pasa la prueba.
(= La gráfica es una función uno a uno.)
Si la línea horizontal y el gráfico
se cruzan en más de un punto (≠ uno (x, y)),
entonces el gráfico falla la prueba.
(= El gráfico no es una función uno a uno.)

Ejemplo

¿Función Uno a Uno?

Solución

Ejemplo

¿Función Uno a Uno?

Solución

Ejemplo

¿Función Uno a Uno?

Solución

Función Compuesta

Fórmula

(g∘f)(x) = g(f(x))
Para encontrar g(f(x)),
poner f(x)
en g(   ).

Ejemplo

f(x) = 3x, g(x) = x2 - x - 1,
(g∘f)(x) = ?
Solución

Ejemplo

f(x) = 3x, g(x) = x2 - x - 1,
(f∘g)(x) = ?
Solución

Ejemplo

f(x) = 2x - 1,
(f∘f)(x) = ?
Solución

Ejemplo

f(x) = 3x + 1,
(f∘f∘f)(x) = ?
Solución

Función Inversa

Definición

y = f(x)
x = f-1(y)
y = f(x)
Si cambia esto a [x = ...],
entonces obtienes x = f-1(y).
Este f-1 es la función inversa de f.
f-1 es una forma de escribir x
usando y.
f-1(x) se lee como
[inversa de f(x)].

Ejemplo

f(2) = 5
f-1(5) = ?
Solución

Ejemplo

f(x) = 2x + 1
f-1(7) = ?
Solución

Ejemplo

f(x) = 2x + 4
f-1(x) = ?
Solución

Property

(f-1∘f)(x) = x
(f∘f-1)(x) = x

Ejemplo

f(x) = 4x + 1
(f-1∘f)(3) = ?
Solución

Gráfico: y = f(x) y y = f-1(x)

y = f(x), que es x = f-1(y),
y su función inversa y = f-1(x)
son simétricas con respecto al eje x.
(porque xey se intercambiados)
Entonces,
y = f(x) pasa la prueba de la línea horizontal.
→ y = f-1(x) pasa la prueba de la línea vertical.
→ y = f-1(x) existe.

Ejemplo

Determina si la función dada tiene una función inversa.

Solución