Hipérbola
Vea cómo resolver una hipérbola
(eje transversal, focos, ecuación, asíntotas).
6 ejemplos y sus soluciones.
Definición
|PF - PF'| = (constante, eje transversal).
F, F': Focos
Hipérbola: x2a2 - y2b2 = 1
Ecuación
x2a2 - y2b2 = 1
a2 + b2 = c2
Eje Transversal: 2a
Focos: (c, 0), (-c, 0)
a2 + b2 = c2
Eje Transversal: 2a
Focos: (c, 0), (-c, 0)
Ejemplo
x29 - y216 = 1
1. ¿Eje transversal?
2. ¿Focos?
Solución 1. ¿Eje transversal?
2. ¿Focos?
x29 - y216 = 1
x232 - y242 = 1
1. (eje transversal) = 2⋅3
= 6
2. c2 = 32 + 42
= 9 + 16
= 25
c = ±5
Focos: (5, 0), (-5, 0)
x232 - y242 = 1
1. (eje transversal) = 2⋅3
= 6
2. c2 = 32 + 42
= 9 + 16
= 25
c = ±5
Focos: (5, 0), (-5, 0)
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Ejemplo
Focos: (3, 0), (-3, 0)
Eje transversal: 4
¿Ecuación de la hipérbola?
Solución Eje transversal: 4
¿Ecuación de la hipérbola?
c = 3
2a = 4
a = 2
22 + b2 = 32
4 + b2 = 9
b2 = 5
x222 - y25 = 1 - [2]
x24 - y25 = 1
[1]
Dibuja la hipérbola
y los focos (3, 0), (-3, 0).
Los focos están ubicados horizontalmente.
Entonces, el eje transversal, 4, es horizontal.
Entonces 2a = 4.
y los focos (3, 0), (-3, 0).
Los focos están ubicados horizontalmente.
Entonces, el eje transversal, 4, es horizontal.
Entonces 2a = 4.
[2]
a = 2
b2 = 5
Entonces, la ecuación de la hipérbola es
x2/22 - y2/5 = 1.
b2 = 5
Entonces, la ecuación de la hipérbola es
x2/22 - y2/5 = 1.
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Asíntotas
x2a2 - y2b2 = 1
Asíntotas: y = ±bax
El gráfico de una hipérbola sigue dos asíntotas.Asíntotas: y = ±bax
(líneas discontinuas púrpura)
Asíntotas: y = [b/a]x, y = -[b/a]x
Ejemplo
x29 - y216 = 1
¿Asíntotas?
Solución ¿Asíntotas?
x29 - y216 = 1
x232 - y242 = 1
Asíntotas: y = ±43x
x232 - y242 = 1
Asíntotas: y = ±43x
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Hipérbola: x2a2 - y2b2 = -1
Ecuación
x2a2 - y2b2 = 1
a2 + b2 = c2
Eje Transversal: 2b
Focos: (0, c), (0, -c)
a2 + b2 = c2
Eje Transversal: 2b
Focos: (0, c), (0, -c)
Ejemplo
4x2 - y2 = -4
1. ¿Eje transversal?
2. ¿Focos?
Solución 1. ¿Eje transversal?
2. ¿Focos?
4x2 - y2 = -4
x21 - y24 = -1
x212 - y222 = -1
1. (eje transversal) = 2⋅2
= 4
2. c2 = 12 + 22
= 1 + 4
= 5
c = ±√5
Focos: (√5, 0), (-√5, 0)
x21 - y24 = -1
x212 - y222 = -1
1. (eje transversal) = 2⋅2
= 4
2. c2 = 12 + 22
= 1 + 4
= 5
c = ±√5
Focos: (√5, 0), (-√5, 0)
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Ejemplo
Focos: (0, 5), (0, -5)
Eje transversal: 6
¿Ecuación de la hipérbola?
Solución Eje transversal: 6
¿Ecuación de la hipérbola?
c = 5
2b = 6
b = 3
a2 + 32 = 52
a2 + 9 = 25
a2 = 16
x216 - y232 = -1 - [2]
x216 - y29 = -1
[1]
Dibuja la hipérbola
y los focos (0, 5), (0, -5).
Los focos están ubicados verticalmente.
Entonces, el eje transversal, 6, es vertical.
Entonces 2b = 6.
y los focos (0, 5), (0, -5).
Los focos están ubicados verticalmente.
Entonces, el eje transversal, 6, es vertical.
Entonces 2b = 6.
[2]
a2 = 16
b = 3
Entonces, la ecuación de la hipérbola es
x2/16 - y2/32 = -1.
b = 3
Entonces, la ecuación de la hipérbola es
x2/16 - y2/32 = -1.
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Asíntotas
x2a2 - y2b2 = -1
Asíntotas: y = ±bax
La fórmula asíntotas es la mismaAsíntotas: y = ±bax
que la hipérbola superior.
Asíntotas: y = [b/a]x, y = -[b/a]x
Ejemplo
y2 - 9x2 = 9
¿Asíntotas?
Solución ¿Asíntotas?
y2 - 9x2 = 9
-9x2 + y2 = 9
x21 - y29 = -1
x212 - y232 = -1
Asíntotas: y = ±31x
y = ±3x
-9x2 + y2 = 9
x21 - y29 = -1
x212 - y232 = -1
Asíntotas: y = ±31x
y = ±3x
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