Integral Definida
Vea cómo resolver una integral definida.
13 ejemplos y sus soluciones.
Integral Definida: Significado
Definición
∫abf(x) dx
(cuando y = f(x) está por encima del eje x.)
Es la suma del área del rectángulo en rodajas finas.
Suma de Riemann
Integral Definida: Cómo Resolver
Fórmula
∫abf(x) dx = [F(x)]ab
= F(b) - F(a)
a: Límite inferior = F(b) - F(a)
b: Limite superior
Cómo resolver:
1. Encuentra F(x): Integral indefinida de f(x)
2. Ponga b y a en F(x).
El resultado de una integral definida es un valor.
(F(b) - F(a) no tiene una variable.)
[F(x)]ab = F(b) + C - [F(a) + C]
= F(b) - F(a)
→ No tienes que escribir +C
al resolver una integral definida.
Ejemplo
∫-12x3 dx
Solución ∫-12x3 dx
= [14x4]-12 - [1]
= 14⋅24 - 14⋅(-1)4
= 14⋅16 - 14⋅1
= 14(16 - 1)
= 154
= [14x4]-12 - [1]
= 14⋅24 - 14⋅(-1)4
= 14⋅16 - 14⋅1
= 14(16 - 1)
= 154
[1]
∫ x3 dx = [1/4]x4
Integral Indefinida
Integral Indefinida
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Ejemplo
∫13(6x2 - 2x + 5) dx
Solución ∫13(6x2 - 2x + 5) dx
= [6⋅13x3 -2⋅12x2 + 5x]13
= [2x3 - x2 + 5x]13
= 2⋅33 - 32 + 5⋅3 - [2⋅13 - 12 + 5⋅1]
= 2⋅27 - 9 + 15 - [2⋅1 - 1 + 5]
= 54 + 6 - [2 + 4]
= 54
= [6⋅13x3 -2⋅12x2 + 5x]13
= [2x3 - x2 + 5x]13
= 2⋅33 - 32 + 5⋅3 - [2⋅13 - 12 + 5⋅1]
= 2⋅27 - 9 + 15 - [2⋅1 - 1 + 5]
= 54 + 6 - [2 + 4]
= 54
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Ejemplo
∫01dx3x + 1
Solución ∫01dx3x + 1
= [13 ln |3x + 1|]01 - [1]
= 13 ln |3⋅1 + 1| - 13 ln |3⋅0 + 1|
= 13 ln |3 + 1| - 13 ln |1|
= 13 ln |4| - 0 - [2]
= 13 ln 4
= 13 ln 22
= 23 ln 2 - [2]
= [13 ln |3x + 1|]01 - [1]
= 13 ln |3⋅1 + 1| - 13 ln |3⋅0 + 1|
= 13 ln |3 + 1| - 13 ln |1|
= 13 ln |4| - 0 - [2]
= 13 ln 4
= 13 ln 22
= 23 ln 2 - [2]
[1]
∫ 1/(3x + 1) dx = [1/3] ln |3x + 1|
Integral Indefinida
Integral Indefinida
[2]
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Definite Integral: Propiedad
Variable en la Integral Definida
∫abf(x) dx = ∫abf(y) dy
El resultado de una integral definida es una constante.Entonces, la variable en la integral definida
no afecta el valor integral definido.
(Si el límite inferior/superior es una variable,
entonces es una historia diferente.)
Limite Superior = Límite Inferior
∫aaf(x) dx = 0
Ejemplo
∫1xf(t) dt = x2 + px
p = ?
Solución p = ?
∫1xf(t) dt = x2 + px
x = 1
∫11f(t) dt = 12 + p⋅1
0 = 1 + p
p + 1 = 0
p = -1
x = 1
∫11f(t) dt = 12 + p⋅1
0 = 1 + p
p + 1 = 0
p = -1
[1]
Pon x = 1 en la ecuación dada.
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Mismos Límites
∫abf(x) dx ± ∫abg(x) dx
= ∫ab(f(x) ± g(x)) dx
= ∫ab(f(x) ± g(x)) dx
Ejemplo
∫13(x2 + x - 1) dx + ∫132y2 dy - ∫13z dz
Solución ∫13(x2 + x - 1) dx + ∫132y2 dy - ∫13z dz
= ∫13(x2 + x - 1) dx + ∫132x2 dx - ∫13x dx
= ∫13(x2 + x - 1 + 2x2 - x) dx
= ∫13(3x2 - 1) dx
= [3⋅13x3 - x]13 - [1]
= [x3 - x]13
= 33 - 3 - [13 - 1]
= 27 - 3 - [1 - 1]
= 24
= ∫13(x2 + x - 1) dx + ∫132x2 dx - ∫13x dx
= ∫13(x2 + x - 1 + 2x2 - x) dx
= ∫13(3x2 - 1) dx
= [3⋅13x3 - x]13 - [1]
= [x3 - x]13
= 33 - 3 - [13 - 1]
= 27 - 3 - [1 - 1]
= 24
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Límites Conectados
∫acf(x) dx + ∫cbf(x) dx
= ∫abf(x) dx
f(x) debe ser el mismo. = ∫abf(x) dx
Ejemplo
∫01(2x + 1) dx + ∫14(2x + 1) dx
Solución ∫01(2x + 1) dx + ∫14(2x + 1) dx
= ∫04(2x + 1) dx
= [2⋅12x2 + x]04
= [x2 + x]04
= 42 + 4 - [02 + 0]
= 16 + 4
= 20
= ∫04(2x + 1) dx
= [2⋅12x2 + x]04
= [x2 + x]04
= 42 + 4 - [02 + 0]
= 16 + 4
= 20
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Intercambio de Límite Superior y Límite Inferior
∫abf(x) dx = -∫baf(x) dx
Ejemplo
∫085x4 dx - ∫285x4 dx
Solución ∫085x4 dx - ∫285x4 dx
= ∫085x4 dx - [-∫825x4 dx]
= ∫085x4 dx + ∫825x4 dx
= ∫025x4 dx
= [5⋅15x5]02
= [x5]02
= 25 - 05
= 32 - 0
= 32
= ∫085x4 dx - [-∫825x4 dx]
= ∫085x4 dx + ∫825x4 dx
= ∫025x4 dx
= [5⋅15x5]02
= [x5]02
= 25 - 05
= 32 - 0
= 32
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Integral Definida de una Función Par/Impar
Función Impar
x, x3, x5
sen x, tan x
senh x
cuyo gráfico es simétrica respecto al origen.
Función Par
Propiedad
∫-aa(Función impar) dx = 0
∫-aa(Función par) dx = 2⋅∫0a(Función par) dx
Ejemplo
∫-11(5x4 + 8x3 - 6x2 - 2x + 7) dx
Solución ∫-11(5x4 + 8x3 - 6x2 - 2x + 7) dx
= 2∫01(5x4 - 6x2 + 7) dx
= 2[5⋅15x5 - 6⋅13x3 + 7x]01 - [1]
= 2[x5 - 2x3 + 7x]01
= 2[15 - 2⋅13 + 7⋅1 - [05 - 2⋅03 + 7⋅0]]
= 2[1 - 2⋅1 + 7 - [0 - 0 + 0]]
= 2[1 - 2 + 7]
= 2[-1 + 7]
= 2⋅6
= 12
= 2∫01(5x4 - 6x2 + 7) dx
= 2[5⋅15x5 - 6⋅13x3 + 7x]01 - [1]
= 2[x5 - 2x3 + 7x]01
= 2[15 - 2⋅13 + 7⋅1 - [05 - 2⋅03 + 7⋅0]]
= 2[1 - 2⋅1 + 7 - [0 - 0 + 0]]
= 2[1 - 2 + 7]
= 2[-1 + 7]
= 2⋅6
= 12
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Ejemplo
∫-π3π3(sen θ + cos θ) dθ
Solución ∫-π3π3(sen θ + cos θ) dθ
= 2∫0π3cos θ dθ
= 2[sen θ]0π3 - [1]
= 2[sen π3 - [sen 0]]
= 2[√32 - 0] - [2]
= 2⋅√32
= √3
= 2∫0π3cos θ dθ
= 2[sen θ]0π3 - [1]
= 2[sen π3 - [sen 0]]
= 2[√32 - 0] - [2]
= 2⋅√32
= √3
[1]
∫ cos θ dθ = sen θ
Integral Indefinida
Integral Indefinida
[2]
sen π/3 = sen 60°
sen 60°
SOH: Seno, Opuesto (√3), Hipotenusa (2)
sen 0 = 0
Trigonometría (Triángulo Rectángulo)
Valor de la Función Trigonométrica
sen 60°
SOH: Seno, Opuesto (√3), Hipotenusa (2)
sen 0 = 0
Trigonometría (Triángulo Rectángulo)
Valor de la Función Trigonométrica
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Integral por Sustitución
Ejemplo
∫0π2esen x cos x dx
Solución ∫0π2esen x cos x dx - [1]
sen x = t
cos x dx = dt - [2]
x = 0 → t = sen 0
= 0
x = π2 → t = sen π2
= 1 - [3]
= ∫01et dt
= [et]01 - [4]
= e1 - e0
= e - 1
sen x = t
cos x dx = dt - [2]
x = 0 → t = sen 0
= 0
x = π2 → t = sen π2
= 1 - [3]
= ∫01et dt
= [et]01 - [4]
= e1 - e0
= e - 1
[3]
sen x = tx = 0 → t = sen 0
x = π/2 → t = sen π/2
x = π/2 → t = sen π/2
[4]
∫ et dt = et
Integral Indefinida
Integral Indefinida
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Ejemplo
∫ee4dxx ln x
Solución ∫ee4dxx ln x
ln x = t
1x dx = dt - [1]
x = e → t = ln e
= 1 - [2]
x = e4 → t = ln e4
= 4 ln e
= 4⋅1
= 4 - [3]
= ∫141t dt
= [ln |t|]14 - [4]
= ln |4| - ln |1|
= ln 4 - 0
= ln 22
= 2 ln 2 - [2]
ln x = t
1x dx = dt - [1]
x = e → t = ln e
= 1 - [2]
x = e4 → t = ln e4
= 4 ln e
= 4⋅1
= 4 - [3]
= ∫141t dt
= [ln |t|]14 - [4]
= ln |4| - ln |1|
= ln 4 - 0
= ln 22
= 2 ln 2 - [2]
[2]
[3]
ln x = tx = e → t = ln e
x = e4 → t = ln e4
x = e4 → t = ln e4
[4]
∫ 1/t dt = ln |t|
Integral Indefinida
Integral Indefinida
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Integral por Partes
Fórmula
∫abuv' dx = [uv]ab - ∫abu'v dx
Integral por Partes: Integral Indefinida Cómo determinar u y v'
ln x, loga x
x, x2, x3, ...
sen x, cos x
ex, ax u↕v'
Función superior → u x, x2, x3, ...
sen x, cos x
ex, ax u↕v'
(= La integral es compleja.)
Función inferior → v'
(= La integral es simple.)
Ejemplo
∫0π3x sen x dx
Solución u v'
∫0π3x sen x dx
u = x v = -cos x
u' = 1 v' = sen x - [1]
= [x⋅(-cos x)]0π3 - ∫0π31⋅(-cos x) dx - [2]
= [-x cos x]0π3 + ∫0π3cos x dx
= -π3 cos π3 - [-0 cos 0] + [sen x]0π3
= -π3⋅12 - 0 + sen π3 - sen 0 - [3]
= -π6 + √32 - 0 - [4]
= √32 - π6
∫0π3x sen x dx
u = x v = -cos x
u' = 1 v' = sen x - [1]
= [x⋅(-cos x)]0π3 - ∫0π31⋅(-cos x) dx - [2]
= [-x cos x]0π3 + ∫0π3cos x dx
= -π3 cos π3 - [-0 cos 0] + [sen x]0π3
= -π3⋅12 - 0 + sen π3 - sen 0 - [3]
= -π6 + √32 - 0 - [4]
= √32 - π6
[1]
Escribe u = x.
→ u' = x
Reglas de Derivación
Escribe v' = sen x junto a u' = 1.
→ Escribe v = -cos x junto a u = x.
Integral Indefinida
→ u' = x
Reglas de Derivación
Escribe v' = sen x junto a u' = 1.
→ Escribe v = -cos x junto a u = x.
Integral Indefinida
[2]
uv: x⋅(-cos x)
u'v: 1⋅(-cos x)
u'v: 1⋅(-cos x)
[3]
cos π/3 = cos 60°
cos 60°
CAH: Coseno, Adyacente (1), Hipotenusa (2)
Trigonometría (Triángulo Rectángulo)
Valor de la Función Trigonométrica
cos 60°
CAH: Coseno, Adyacente (1), Hipotenusa (2)
Trigonometría (Triángulo Rectángulo)
Valor de la Función Trigonométrica
[4]
sen π/3 = sen 60°
sen 60°
SOH: Seno, Opuesto (√3), Hipotenusa (2)
sen 0 = 0
sen 60°
SOH: Seno, Opuesto (√3), Hipotenusa (2)
sen 0 = 0
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Ejemplo
∫1e(ln x)2 dx
Solución ∫1e(ln x)2 dx
u v'
= ∫1e(ln x)2⋅1 dx
u = (ln x)2 v = x
u' = 2(ln x)1⋅1x
= (2 ln x)⋅1x v' = 1 - [1]
= [(ln x)2⋅x]1e - ∫1e(2 ln x)⋅1x⋅x dx - [2]
= [x (ln x)2]1e - 2∫1eln x dx
= e⋅(ln e)2 - 1⋅(ln 1)2 - 2[x ln x - x]1e - [3]
= e⋅12 - 1⋅02 - 2[e ln e - e - [1 ln 1 - 1]] - [4]
= e⋅1 - 0 - 2[e⋅1 - e - [0 - 1]]
= e - 2[e - e + 1]
= e - 2⋅1
= e - 2
u v'
= ∫1e(ln x)2⋅1 dx
u = (ln x)2 v = x
u' = 2(ln x)1⋅1x
= (2 ln x)⋅1x v' = 1 - [1]
= [(ln x)2⋅x]1e - ∫1e(2 ln x)⋅1x⋅x dx - [2]
= [x (ln x)2]1e - 2∫1eln x dx
= e⋅(ln e)2 - 1⋅(ln 1)2 - 2[x ln x - x]1e - [3]
= e⋅12 - 1⋅02 - 2[e ln e - e - [1 ln 1 - 1]] - [4]
= e⋅1 - 0 - 2[e⋅1 - e - [0 - 1]]
= e - 2[e - e + 1]
= e - 2⋅1
= e - 2
[1]
Escribe u = (ln x)2.
→ u' = 2(ln x)(1/x)
Derivada de g(f(x))
Escribe v' = 1 junto a u' = (2 ln x)⋅(1/x).
→ Escribe v = x junto a u = (ln x)2.
→ u' = 2(ln x)(1/x)
Derivada de g(f(x))
Escribe v' = 1 junto a u' = (2 ln x)⋅(1/x).
→ Escribe v = x junto a u = (ln x)2.
[2]
uv: (ln x)2⋅x
u'v: 2(ln x)(1/x)⋅x
u'v: 2(ln x)(1/x)⋅x
[3]
∫ ln x dx = x ln x - x
Integral Indefinida
Integral Indefinida
[4]
Cerrar