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Integral Definida

Vea cómo resolver una integral definida.
13 ejemplos y sus soluciones.

Integral Definida: Significado

Definición


abf(x) dx
Una integral definida es el área de la región debajo de y = f(x).
(cuando y = f(x) está por encima del eje x.)
Es la suma del área del rectángulo en rodajas finas.
Suma de Riemann

Integral Definida: Cómo Resolver

Fórmula

abf(x) dx = [F(x)]ab
= F(b) - F(a)
a: Límite inferior
b: Limite superior

Cómo resolver:
1. Encuentra F(x): Integral indefinida de f(x)
2. Ponga b y a en F(x).

El resultado de una integral definida es un valor.
(F(b) - F(a) no tiene una variable.)

[F(x)]ab = F(b) + C - [F(a) + C]
= F(b) - F(a)
→ No tienes que escribir +C
al resolver una integral definida.

Ejemplo

-12x3 dx
Solución

Ejemplo

13(6x2 - 2x + 5) dx
Solución

Ejemplo

01dx3x + 1
Solución

Definite Integral: Propiedad

Variable en la Integral Definida

abf(x) dx = abf(y) dy
El resultado de una integral definida es una constante.
Entonces, la variable en la integral definida
no afecta el valor integral definido.
(Si el límite inferior/superior es una variable,
entonces es una historia diferente.)

Limite Superior = Límite Inferior

aaf(x) dx = 0

Ejemplo

1xf(t) dt = x2 + px
p = ?
Solución

Mismos Límites

abf(x) dx ± abg(x) dx
= ab(f(x) ± g(x)) dx

Ejemplo

13(x2 + x - 1) dx + 132y2 dy - 13z dz
Solución

Límites Conectados

acf(x) dx + cbf(x) dx
= abf(x) dx
f(x) debe ser el mismo.

Ejemplo

01(2x + 1) dx + 14(2x + 1) dx
Solución

Intercambio de Límite Superior y Límite Inferior

abf(x) dx = -baf(x) dx

Ejemplo

085x4 dx - 285x4 dx
Solución

Integral Definida de una Función Par/Impar

Función Impar


x, x3, x5
sen x, tan x
senh x
Una función impar es una función
cuyo gráfico es simétrica respecto al origen.

Función Par


x2, x4, x6
cos x
cosh x
Una función par es una función
cuyo gráfico es simétrica respecto al eje y.

Propiedad


-aa(Función impar) dx = 0

-aa(Función par) dx = 2⋅0a(Función par) dx

Ejemplo

-11(5x4 + 8x3 - 6x2 - 2x + 7) dx
Solución

Ejemplo

-π3π3(sen θ + cos θ) dθ
Solución

Integral por Sustitución

Ejemplo

0π2esen x cos x dx
Solución

Ejemplo

ee4dxx ln x
Solución

Integral por Partes

Fórmula

abuv' dx = [uv]ab - abu'v dx
Integral por Partes: Integral Indefinida

Cómo determinar u y v'

ln x, loga x
x, x2, x3, ...
sen x, cos x
ex, ax
uv'
Función superior → u
(= La integral es compleja.)
Función inferior → v'
(= La integral es simple.)

Ejemplo

0π3x sen x dx
Solución

Ejemplo

1e(ln x)2 dx
Solución