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Límite (Matemática)

Vea cómo resolver el límite de una función/sucesión.
31 ejemplos y sus soluciones.

Convergencia

Definición


limn → ∞an = α
an se acerca a un valor constante (α).
→ Límite de an es convergente.

limn → ∞an se lee como
límite cuando n tiende a infinito de an.

Divergencia

Divergencia: an no pasa a un valor constante.

Diverge al ∞


limn → ∞an = ∞

Diverge al -∞


limn → ∞an = -∞

Oscilante


limn → ∞an: Oscilación
an no va en una dirección
→ Límite de an está oscilando.

Límite de una Sucesión

Fórmula

1 = 0

Ejemplo

an = 5 + 4n2
¿Convergente o divergente?
Solución

Ejemplo

an = √n - 2
¿Convergente o divergente?
Solución

Ejemplo

an = -n2 + 1
¿Convergente o divergente?
Solución

Ejemplo

an = (-1)n
¿Convergente o divergente?
Solución

Límite de una Función

Definición

y = f(x)

limx → af(x) = α
El límite de f(x) significa
dónde la gráfica de y = f(x) va
cuando x → a.
No significa el valor de la función f(a).

Ejemplo

limx → 2(x2 + 5 + 3x)
Solución

Ejemplo

f(x) = {x + 2 (x ≠ 1)
4 (x = 1)


limx → 1f(x) = ?
Solución

Límites Laterales

Límite por la Izquierda

y = f(x)

limx → a-f(x) = α
a-: El número que es un poco menor que a.
(a- ≈ a)

Límite por la Derecha

y = f(x)

limx → a+f(x) = α
a+: El número que es un poco mayor que a.
(a+ ≈ a)

¿Cuándo Existe un Límite?

y = f(x)

limx → a-f(x) = limx → a+f(x) = α

limx → af(x) = α
(límite por la izquierda) = (límite por la derecha)
→ Existe un límite.

Ejemplo

y = f(x)

1. limx → 3-f(x) = ?
2. limx → 3+f(x) = ?
3. limx → 3f(x) = ?
Solución

Ejemplo

f(x) = {-x + 6 (x < 2)
x2 (x ≥ 2)


limx → 2f(x) = ?
Solución

Ejemplo

f(x) = x(x + 1)|x|

limx → 0f(x) = ?
Solución

Forma ∞/∞

Ejemplo

limn → ∞n2 + n8n
Solución

Ejemplo

limn → ∞9n + 2n3
Solución

Ejemplo

limn → ∞3n2 + n - 5n2 - 4n
Solución

Ejemplo

limn → ∞3n + 4 + 22n + 1 - 34n - 4⋅3n - n100
Solución

Ejemplo

limn → ∞3n - 14n2 + 5 + n2 + 1
Solución

Forma ∞ - ∞

Ejemplo

limn → ∞(n2 + 6n + 12 - n)
Solución

Ejemplo

limn → ∞7n2 + n - n2 - n
Solución

Forma 0/0

Ejemplo

limx → 1x2 + x - 2x - 1
Solución

Ejemplo

limx → 2x + 7 - 3x - 2
Solución

Ejemplo

limx → 3x2 + ax + bx - 3 = 1

a, b = ?
Solución

Forma 0 × ∞

Ejemplo

limx → 01x (6x + 3 - 2)
Solución

Teorema del Emparedado

Teorema

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

Si limx → af(x) = limx → 0h(x) = α,
entonces limx → ag(x) = α.

Ejemplo

limx → ∞sen xx
Solución

Límite de sen xx

Fórmula

limx → 0sen xx = 1

Ejemplo

limx → 0sen 4xx
Solución

Ejemplo

limx → 0sen (sen x)x
Solución

Ejemplo

limx → 0tan xx
Solución

Ejemplo

limx → 01 - cos xx2
Solución

Constante e

Definición

(1 + 0) = e
La constante e es un número especial.
e = 2.718...
e también se llama
número de Euler, constante de Napier, base natural, constante natural.

Fórmula

limx → 0(1 + x)1x = e

limx → ∞(1 + 1x)x = e

Ejemplo

limx → 0(1 + 7x)1x
Solución

Ejemplo

limx → ∞(1 + 5x)x
Solución

Límite de ln (1 + x)x

Fórmula

limx → 0ln (1 + x)x = 1

Ejemplo

limx → 0ln (1 + 2x)x
Solución

Límite de loga (1 + x)x

Fórmula

limx → 0loga (1 + x)x = 1ln a
Logaritmo

Ejemplo

limx → 0log2 (1 + x)sen x
Solución

Límite de ex - 1x

Fórmula

limx → 0ex - 1x = 1

Ejemplo

limx → 0e6x - 1x
Solución

Límite de ax - 1x

Fórmula

limx → 0ax - 1x = ln a

Ejemplo

limx → 04x - 1x(2x + 1)
Solución