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Lógica (Matemática)

Vea cómo encontrar el valor de verdad de una proposición utilizando la lógica.
30 ejemplos y sus soluciones.

Proposición

Definición

Proposición: ( o ) o ( x )
Una proposición es una enunciado
que es verdadera ( o ) o falsa ( x ).

Negación

Definición

~p
[~ p] es la negación de p.
Significa [no p].

Ejemplo

Encuentra la negación de proposición dado.

5 es un número positivo.
Solución

Ejemplo

Encuentra la negación de proposición dado.

1 + 2 = 0
Solución

Ejemplo

Encuentra la negación de proposición dado.

2 no es un número impar.
Solución

Valor de Verdad

p~p
ox
xo
p y ~p tienen los valores de verdad opuestos.

Ejemplo

p: 5 es un número positivo.

¿Valor de verdad de ~p?
Solución

Ejemplo

q: 3 es un número par.

¿Valor de verdad de ~q?
Solución

Ejemplo

r: 2 es un número primo.

¿Valor de verdad de ~(~r)?
Solución

Conjunción

Definición

p q
[p ∧ q] es la conjunción de p y q.
Significa [p y q].

Valor de Verdad

pqp ∧ q
ooo
oxx
xox
xxx
p ∧ q es verdadero
si tanto p como q son verdaderos.

Ejemplo

p: 5 es un número positivo.
q: 1 + 1 = 3

¿Valor de verdad de p ∧ q?
Solución

Ejemplo

p: 5 es un número positivo.
r: 4 > 2

¿Valor de verdad de p ∧ r?
Solución

Disyunción

Definición

p q
[p ∨ q] es la disyunción de p y q.
Significa [p o q].

Valor de Verdad

pqp ∨ q
ooo
oxo
xoo
xxx
p ∨ q es verdadero
si p y q son verdaderos.

Ejemplo

p: 5 es un número positivo.
q: 1 + 1 = 3

¿Valor de verdad de p ∨ q?
Solución

Ejemplo

q: 1 + 1 = 3
s: 2 > 9

¿Valor de verdad de q ∨ s?
Solución

Condicional

Definición

pq
[p → q] es una proposición condicional.
Significa [si p, entonces q].
p: Antecedente
q: Consecuente

Ejemplo

Encuentra la antecedente y la consecuente del proposición dado.

Si 2 es un número primo,
entonces 2 es un número impar.
Solución

Ejemplo

Encuentra la antecedente y la consecuente del proposición dado.

Si no está en su habitación,
entonces está jugando baloncesto.
Solución

Ejemplo

Encuentra la antecedente y la consecuente del proposición dado.

Me quedo en casa si llueve.
Solución

Valor de Verdad

pqp → q
ooo
oxx
xoo
xxo

Ejemplo

p: 2 es un número primo.
q: 2 es un número positivo.

¿Valor de verdad de p → q?
Solución

Ejemplo

p: 2 es un número primo.
r: 2 es un número impar.

¿Valor de verdad de p → r?
Solución

Ejemplo

p: 2 es un número primo.
r: 2 es un número impar.

¿Valor de verdad de r → p?
Solución

Inversa

Definición

~p~q
Para encontrar la inversa de [pq],
niega tanto p como q.

Ejemplo

Si 2 es un número primo,
entonces 2 es un número impar.

¿Inversa?
Solución

Ejemplo

Si no está en su habitación,
entonces está jugando baloncesto.

¿Inversa?
Solución

Recíproca

Definición

qp
Para encontrar el recíproco de [pq],
intercambiar p y q.

Ejemplo

Si 2 es un número primo,
entonces 2 es un número impar.

¿Recíproca?
Solución

Ejemplo

Si no está en su habitación,
entonces está jugando baloncesto.

¿Recíproca?
Solución

Contrapositiva

Definición

~q~p
Para encontrar el contrapositivo de [pq],
niegue e intercambie tanto p como q.

Ejemplo

Si 2 es un número primo,
entonces 2 es un número impar.

¿Contrapositiva?
Solución

Ejemplo

Si no está en su habitación,
entonces está jugando baloncesto.

¿Contrapositiva?
Solución

Ley de Contraposición

Ley

pq = ~q~p
Un condicional y su contrapositivo
tienen el mismo valor de verdad.

Relación entre Condicional, Inversa, Recíproca y Contrapositiva

La inversa [~p → ~q] y la recíproca [q → p]
son contrapositivos entre sí.
Entonces, por ley de la contraposición
la inversa y la recíproca
también tienen el mismo valor de verdad.

Ejemplo

Si la proposición dada es verdadera,
escriba un proposición que sea siempre verdadero.

Si está lloviendo, entonces me quedo en casa.
Solución

Ejemplo

Si la inversa de la proposición dada es verdadera,
escriba un proposición que sea siempre verdadero.

Si está lloviendo, entonces me quedo en casa.
Solución

Modus Ponens

Ley

pq( o )
p( o )
q( o )
Si [p → q] y [p] son verdaderas,
entonces [q] es verdadera.

Ejemplo

Si las proposiciones dadas son todas verdaderas,
escriba una proposición que siempre sea verdadera.

Si está lloviendo, entonces me quedo en casa.
Está lloviendo.
Solución

Ley del Silogismo

Ley

pq( o )
qr( o )
pr( o )
Si [p → q] es verdadera y [q → r] es verdadera,
entonces [p → r] es verdadera.

Ejemplo

Si las proposiciones dadas son todas verdaderas,
escriba una proposición que siempre sea verdadera.

Si está lloviendo, entonces me quedo en casa.
Si me quedo en casa, entonces estoy escuchando música.
Solución

Bicondicional

Definición

pq
Un bicondicional es la conjunción de un condicional y su recíproca.
[pq] ∧ [qp]

Se escribe y se lee como
[p si y solo si q], [p sii q], [p ssi q], [p syss q].

Valor de Verdad

p → qq → pp ↔ q
ooo
oxx
xox
xxx
Un bicondicional es verdadero
si ambos [p → q] y [q → p] son verdaderas.

Ejemplo

2 es un número primo
si y solo si 2 es un número par.

¿Valor de verdad?
Solución

Ejemplo

∠A es un ángulo recto iss m∠A = 90.

¿Valor de verdad?
Solución

Ejemplo

x + 2 = 3 sii x = 1.

¿Valor de verdad?
Solución

Ejemplo

x2 = 4 sii x = 2.

¿Valor de verdad?
Solución