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Logaritmo

Vea cómo resolver un logaritmo
(expresión/ecuación/desigualdad/función).
33 ejemplos y sus soluciones.

Forma Logarítmica

Definición

2m = 3
m = log2 3
El logaritmo es una forma
de escribir el exponente de un número.
log2 3 se lee como
[logaritmo en base 2 de 3].
Reglas de Exponentes

Ejemplo

24 = 16
→ ¿Forma logarítmica?
Solución

Ejemplo

3-2 = 19
→ ¿Forma logarítmica?
Solución

Ejemplo

512 = √5
→ ¿Forma logarítmica?
Solución

Ejemplo

2 = log3 9
→ ¿Forma exponencial?
Solución

Ejemplo

-5 = log2 132
→ ¿Forma exponencial?
Solución

Ejemplo

23 = log7 349
→ ¿Forma exponencial?
Solución

Logaritmo de 1

Fórmula

loga 1 = 0

Logaritmo de Sí Mismo

Fórmula

loga a = 1

loga xm

Fórmula

loga xm
= m loga x

Ejemplo

log2 8
Solución

Ejemplo

log3 181
Solución

Ejemplo

log3 2 = a
log3 32 = ?
Solución

loga xy

Fórmula

loga xy
= loga x + loga y

Ejemplo

log2 3 = a
log2 24 = ?
Solución

loga xy

Fórmula

loga xy
= loga x - loga y

Ejemplo

log2 328
Solución

Ejemplo

log6 9 - log6 15 + log6 10
Solución

Ecuación Logarítmica

Fórmula

loga x

x > 0
0 < a < 1, a > 1
x y a deben satisfacer estas condiciones.

Ejemplo

log3 x = 4
Solución

Ejemplo

logx 64 = 3
Solución

Ejemplo

log2 (log3 (log5 x)) = 0
Solución

Ejemplo

log2 x + log2 (x - 1) = log2 12
Solución

Ejemplo

(log5 x)2 - log5 x2 - 3 = 0
Solución

Desigualdad Logarítmica

Ejemplo

log7 (x + 2) ≤ 1
Solución

Ejemplo

log0,1 (x - 3) > 2
Solución

Ejemplo

2 log3 x ≥ log3 (x + 6) + 1
Solución

Función logarítmica: Gráfico

Gráfico: y = loga x (a > 1)

1. El gráfico pasa (1, 0).
2. La asíntota de la gráfica es el eje y.
(= El gráfico sigue el eje y.)
Entonces, el dominio x es siempre (+): x > 0.

Gráfico: y = loga x (0 < a < 1)

1. El gráfico pasa (1, 0).
2. La asíntota de la gráfica es el eje y.
(= El gráfico sigue el eje y.)
Entonces, el dominio x es siempre (+): x > 0.

Gráfico: y = ax y y = loga x

y = ax y y = loga x
son simétricos sobre y = x.

Entonces estas dos funciones son funciones inversas.
Función Exponencial: Gráfico

Ejemplo

Grafica y = log3 x.
Solución

Ejemplo

Grafica y = log2 (x - 3).
Solución

Logaritmo Común

Definición

log x = log10 x
Un logaritmo común es un logaritmo
cuya base es 10.
En matemáticas de la escuela secundaria,
log10 = log.

Ejemplo

log 5 = ?
(Asuma log 2 = 0,301.)
Solución

Ejemplo

log 120 = ?
(Asuma log 2 = 0,301, log 3 = 0,477.)
Solución

Cambio de Base (Logaritmo)

Fórmula

loga x = logb xlogb a

Ejemplo

log2 70 = ?
(Asuma log 2 = 0,301, log 7 = 0,845.)
Solución

Ejemplo

log2 3 = a
log12 18 = ?
Solución

Ejemplo

(log2 27)(log9 16)
Solución

Logaritmo Natural

Definición

ln x = loge x
Un logaritmo natural es un logaritmo
cuya base es e.
(e es un número constante.
e = 2,71828...)
En matemáticas de la escuela secundaria,
loge = ln.
Constante e

Ejemplo

ln 2ex + 1 = ?
(Asuma ln 2 = 0,69.)
Solución

Crecimiento/Decrecimiento Exponencial: Tiempo

Fórmula

A = A0(1 + r)t
A: Valor final
A0: Valor inicial
r: Tasa de cambio
t: Tiempo

Mediante el uso de logaritmos,
puede encontrar el tiempo t.
Crecimiento/Decrecimiento Exponencial: Valor Final
Interés Compuesto

Ejemplo

La población de una ciudad es de 10.000. Si aumenta a una tasa del 8% anual, ¿después de cuántos años la población será de más de 24.000?
(Asuma log 2,4 = 0,380, log 1,08 = 0,033.)
Solución

Ejemplo

Una sustancia radiactiva pesa 100g. Si disminuye a una tasa del 14% por semana, ¿después de cuántas semanas el peso será inferior a 10g?
(Asuma log 0,86 = -0,066.)
Solución

Crecimiento/Decrecimiento Exponencial Continuo: Tiempo

Fórmula

A = A0ert
A: Valor final
A0: Valor inicial
e: Número constante (= 2,71828...)
r: Tasa de cambio
t: Tiempo

Crecimiento/Decrecimiento Exponencial Continuo: Valor Final
Interés Compuesto
Constante e

Ejemplo

Una sustancia pesa 10g. Si aumenta continuamente a una tasa del 5% por minuto, ¿después de cuántos minutos el peso será superior a 30g?
(Asuma ln 3 = 1,099.)
Solución

Ejemplo

Una sustancia radiactiva pesa 50g. Si disminuye continuamente a una tasa del 3% por segundo, ¿después de cuántos segundos el peso será inferior a 20g?
(Asuma ln 0,4 = -0,916.)
Solución

Vida Media

Fórmula

-rt = ln 2
r: Tasa de cambio
t: Vida media

La vida media es la cantidad de tiempo
en que un valor
disminuye de forma continua y exponencial
a la mitad.
A0 → A0/2
La fórmula vino de
A0ert = A = A0/2.
Crecimiento/Decrecimiento Exponencial Continuo: Tiempo

Ejemplo

El peso de una sustancia radiactiva disminuye continuamente a un ritmo del 4% por segundo. Encuentre la vida media de la sustancia.
(Asuma ln 2 = 0,69.)
Solución