Logaritmo
Vea cómo resolver un logaritmo
(expresión/ecuación/desigualdad/función).
33 ejemplos y sus soluciones.
Forma Logarítmica
Definición
2m = 3
→ m = log2 3
El logaritmo es una forma→ m = log2 3
de escribir el exponente de un número.
log2 3 se lee como
[logaritmo en base 2 de 3].
Reglas de Exponentes
Ejemplo
24 = 16
→ ¿Forma logarítmica?
Solución → ¿Forma logarítmica?
24 = 16
4 = log2 16
4 = log2 16
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Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
2 = log3 9
→ ¿Forma exponencial?
Solución → ¿Forma exponencial?
2 = log3 9
32 = 9
32 = 9
Cerrar
Ejemplo
-5 = log2 132
→ ¿Forma exponencial?
Solución → ¿Forma exponencial?
-5 = log2 132
2-5 = 132
2-5 = 132
Cerrar
Ejemplo
23 = log7 3√49
→ ¿Forma exponencial?
Solución → ¿Forma exponencial?
23 = log7 3√49
3√49 = 723
3√49 = 723
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Logaritmo de 1
Fórmula
loga 1 = 0
Logaritmo de Sí Mismo
Fórmula
loga a = 1
loga xm
Fórmula
loga xm
= m loga x
= m loga x
Ejemplo
log2 8
Solución log2 8 = log2 23
= 3 log2 2
= 3⋅1
= 3
= 3 log2 2
= 3⋅1
= 3
Cerrar
Ejemplo
log3 181
Solución log3 181 = log3 3-4
= -4 log3 3
= -4⋅1
= -4
= -4 log3 3
= -4⋅1
= -4
Cerrar
Ejemplo
log3 2 = a
log3 32 = ?
Solución log3 32 = ?
log3 32 = log3 25
= 5 log3 2
= 5a
= 5 log3 2
= 5a
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loga xy
Fórmula
loga x⋅y
= loga x + loga y
= loga x + loga y
Ejemplo
log2 3 = a
log2 24 = ?
Solución log2 24 = ?
log2 24
= log2 23⋅3 - [1]
= log2 23 + log2 3
= 3 log2 2 + a
= 3⋅1 + a
= a + 3
= log2 23⋅3 - [1]
= log2 23 + log2 3
= 3 log2 2 + a
= 3⋅1 + a
= a + 3
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loga xy
Fórmula
loga xy
= loga x - loga y
= loga x - loga y
Ejemplo
log2 32√8
Solución log2 32√8
= log2 32 - log2 √8
= log2 25 - log2 √23
= log2 25 - log2 232 - [1]
= 5 log2 2 - 32 log2 2
= 5⋅1 - 32⋅1
= 5 - 32
= 102 - 32
= 72
= log2 32 - log2 √8
= log2 25 - log2 √23
= log2 25 - log2 232 - [1]
= 5 log2 2 - 32 log2 2
= 5⋅1 - 32⋅1
= 5 - 32
= 102 - 32
= 72
Cerrar
Ejemplo
log6 9 - log6 15 + log6 10
Solución log6 9 - log6 15 + log6 10
= log6 9⋅1015
= log6 32⋅2⋅53⋅5
= log6 3⋅2
= log6 6
= 1
= log6 9⋅1015
= log6 32⋅2⋅53⋅5
= log6 3⋅2
= log6 6
= 1
Cerrar
Ecuación Logarítmica
Fórmula
loga x
x > 0
0 < a < 1, a > 1
x y a deben satisfacer estas condiciones. x > 0
0 < a < 1, a > 1
Ejemplo
log3 x = 4
Solución log3 x = 4
x > 0
x = 34
= 81
x = 81
x > 0
x = 34
= 81
x = 81
[1]
Dibuja x > 0 en una recta numérica.
Vea si x = 81 está en la región coloreada.
Vea si x = 81 está en la región coloreada.
Cerrar
Ejemplo
logx 64 = 3
Solución logx 64 = 3
0 < x < 1, x > 1
x3 = 64
= 43
x = 4
x = 4
0 < x < 1, x > 1
x3 = 64
= 43
x = 4
x = 4
[1]
Dibuja 0 < x < 1, x > 1
en una recta numérica.
Vea si x = 4 está en la región coloreada.
en una recta numérica.
Vea si x = 4 está en la región coloreada.
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Ejemplo
log2 (log3 (log5 x)) = 0
Solución log2 (log3 (log5 x)) = 0
x > 0
log3 (log5 x) = 20
log3 (log5 x) = 1
log5 x = 31
log5 x = 3
x = 53
= 125
x = 125
x > 0
log3 (log5 x) = 20
log3 (log5 x) = 1
log5 x = 31
log5 x = 3
x = 53
= 125
x = 125
[1]
Dibuja x > 0 en una recta numérica.
Vea si x = 125 está en la región coloreada.
Vea si x = 125 está en la región coloreada.
Cerrar
Ejemplo
log2 x + log2 (x - 1) = log2 12
Solución log2 x + log2 (x - 1) = log2 12
x > 0
x - 1 > 0
x > 1
→ x > 1
log2 x(x - 1) = log2 12
x(x - 1) = 12
x2 - x = 12
x2 - x - 12 = 0 - [1]
1) x - 4 = 0
x = 4
2) x + 3 = 0
x = -3
x = 4
x > 0
x - 1 > 0
x > 1
→ x > 1
log2 x(x - 1) = log2 12
x(x - 1) = 12
x2 - x = 12
x2 - x - 12 = 0 - [1]
1) x - 4 = 0
x = 4
2) x + 3 = 0
x = -3
x = 4
[2]
Dibuja x > 1
en una recta numérica.
Vea si x = 4, -3 están en la región coloreada.
en una recta numérica.
Vea si x = 4, -3 están en la región coloreada.
Cerrar
Ejemplo
(log5 x)2 - log5 x2 - 3 = 0
Solución (log5 x)2 - log5 x2 - 3 = 0
x > 0
x2 > 0
x ≠ 0 - [1]
→ x > 0 - [2]
(log5 x)2 - 2 log5 x - 3 = 0
(log5 x - 3)(log5 x + 1) = 0 - [3]
1) log5 x - 3 = 0
log5 x = 3
= 125
2) log5 x + 1 = 0
log5 x = -1
x = 5-1
= 15
x = 15, 125
x > 0
x2 > 0
x ≠ 0 - [1]
→ x > 0 - [2]
(log5 x)2 - 2 log5 x - 3 = 0
(log5 x - 3)(log5 x + 1) = 0 - [3]
1) log5 x - 3 = 0
log5 x = 3
= 125
2) log5 x + 1 = 0
log5 x = -1
x = 5-1
= 15
x = 15, 125
[1]
x2 > 0 es cierto cuando x ≠ 0.
[2]
Dibuja x > 0 and x ≠ 0
en una recta numérica.
x > 0 cubre x ≠ 0.
Así que dibuja x > 0.
La región coloreada es x > 0.
Entonces x debería satisfacer x > 0.
en una recta numérica.
x > 0 cubre x ≠ 0.
Así que dibuja x > 0.
La región coloreada es x > 0.
Entonces x debería satisfacer x > 0.
[4]
Dibuja x > 0
en una recta numérica.
Vea si x = 125, 1/5 están en la región coloreada.
en una recta numérica.
Vea si x = 125, 1/5 están en la región coloreada.
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Desigualdad Logarítmica
Ejemplo
log7 (x + 2) ≤ 1
Solución log7 (x + 2) ≤ 1
x + 2 > 0 - [1]
x > -2
x + 2 ≤ 71 - [2]
x + 2 ≤ 7
x ≤ 5
-2 < x ≤ 5
x + 2 > 0 - [1]
x > -2
x + 2 ≤ 71 - [2]
x + 2 ≤ 7
x ≤ 5
-2 < x ≤ 5
[2]
log7 (x + 2) ≤ 1
Cambie esto a forma logarítmica.
La base 2 está en
7 > 1.
Entonces, el orden del signo de desigualdad
no cambia.
≤ → ≤
Cambie esto a forma logarítmica.
La base 2 está en
7 > 1.
Entonces, el orden del signo de desigualdad
no cambia.
≤ → ≤
[3]
x > -2
x ≤ 5
Dibuja estas desigualdades
en una recta numérica.
Colorea la región de intersección.
x ≤ 5
Dibuja estas desigualdades
en una recta numérica.
Colorea la región de intersección.
Cerrar
Ejemplo
log0,1 (x - 3) > 2
Solución log0,1 (x - 3) > 2
x - 3 > 0
x > 3
x - 3 < 0,12 - [1]
x - 3 < 0,01
x < 3,01
3 < x < 3,01
x - 3 > 0
x > 3
x - 3 < 0,12 - [1]
x - 3 < 0,01
x < 3,01
3 < x < 3,01
[1]
log0,1 (x - 3) > 2
Cambie esto a forma logarítmica.
La base 0,1 está en
0 < 0,1 < 1.
Entonces, el orden del signo de desigualdad
cambia.
< → >
Cambie esto a forma logarítmica.
La base 0,1 está en
0 < 0,1 < 1.
Entonces, el orden del signo de desigualdad
cambia.
< → >
[2]
x > 3
x < 3,01
Dibuja estas desigualdades
en una recta numérica.
Colorea la región de intersección.
x < 3,01
Dibuja estas desigualdades
en una recta numérica.
Colorea la región de intersección.
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Ejemplo
2 log3 x ≥ log3 (x + 6) + 1
Solución 2 log3 x ≥ log3 (x + 6) + 1
x > 0
x + 6 > 0
x > -6
→ x > 0 - [1]
log3 x2 ≥ log3 (x + 6) + log3 3
log3 x2 ≥ log3 (x + 6)⋅3
x2 ≥ (x + 6)⋅3 - [2] [3]
x2 ≥ 3x + 18
x2 - 3x - 18 ≥ 0
(x + 3)(x - 6) ≥ 0 - [4]
x = -3, 6
x ≤ -3 o x ≥ 6 - [5]
x ≥ 6
x > 0
x + 6 > 0
x > -6
→ x > 0 - [1]
log3 x2 ≥ log3 (x + 6) + log3 3
log3 x2 ≥ log3 (x + 6)⋅3
x2 ≥ (x + 6)⋅3 - [2] [3]
x2 ≥ 3x + 18
x2 - 3x - 18 ≥ 0
(x + 3)(x - 6) ≥ 0 - [4]
x = -3, 6
x ≤ -3 o x ≥ 6 - [5]
x ≥ 6
[1]
Dibuja x > 0 y x > -6
en una recta numérica.
Colorea la región de intersección.
La región de intersección es x > 0.
x debe satisfacer esta condición.
en una recta numérica.
Colorea la región de intersección.
La región de intersección es x > 0.
x debe satisfacer esta condición.
[2]
Las bases son las mismas.
Entonces los números en los logaritmos,
x2 y (x + 6)⋅3,
son iguales.
Entonces los números en los logaritmos,
x2 y (x + 6)⋅3,
son iguales.
[3]
Las bases 3 están en
3 > 1.
Entonces, el orden del signo de desigualdad
no cambia.
≥ → ≥
3 > 1.
Entonces, el orden del signo de desigualdad
no cambia.
≥ → ≥
[6]
x > 0
x ≤ -3 o x ≥ 6
Dibuja estas desigualdades
en una recta numérica.
Colorea la región de intersección.
x ≤ -3 o x ≥ 6
Dibuja estas desigualdades
en una recta numérica.
Colorea la región de intersección.
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Función logarítmica: Gráfico
Gráfico: y = loga x (a > 1)
2. La asíntota de la gráfica es el eje y.
(= El gráfico sigue el eje y.)
Entonces, el dominio x es siempre (+): x > 0.
Gráfico: y = loga x (0 < a < 1)
2. La asíntota de la gráfica es el eje y.
(= El gráfico sigue el eje y.)
Entonces, el dominio x es siempre (+): x > 0.
Gráfico: y = ax y y = loga x
son simétricos sobre y = x.
Entonces estas dos funciones son funciones inversas.
Función Exponencial: Gráfico
Ejemplo
Grafica y = log3 x.
Solución Dibuja la asíntota eje y.
Y dibuja (1, 0).
Y dibuja (1, 0).
↓
La base 3 está en 3 > 1.
Así que dibuja la gráfica
que dice ↗.
Así que dibuja la gráfica
que dice ↗.
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Ejemplo
Grafica y = log2 (x - 3).
Solución y = log2 (x - 3)
x - 3 = 0
x = 3 - [1] [2]
x - 3 = 0
x = 3 - [1] [2]
[1]
Para encontrar la asíntota,
establezca (x - 3) = 0.
→ x = 3
establezca (x - 3) = 0.
→ x = 3
[2]
Para encontrar el dominio,
establezca (x - 3) > 0.
→ {x|x > 3}
establezca (x - 3) > 0.
→ {x|x > 3}
[3]
Dibuja la asíntota x = 3.
Y dibuja (4, 0).
Y dibuja (4, 0).
↓
[4]
La base 2 está en
2 > 1.
Así que dibuja la gráfica
que dice ↗.
2 > 1.
Así que dibuja la gráfica
que dice ↗.
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Logaritmo Común
Definición
log x = log10 x
Un logaritmo común es un logaritmocuya base es 10.
En matemáticas de la escuela secundaria,
log10 = log.
Ejemplo
log 5 = ?
(Asuma log 2 = 0,301.)
Solución (Asuma log 2 = 0,301.)
log 5 = log 102
= log 10 - log 2
= 1 - 0,301
= 0,699 - [1]
= log 10 - log 2
= 1 - 0,301
= 0,699 - [1]
[1]
5 = 100,699
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Ejemplo
log 120 = ?
(Asuma log 2 = 0,301, log 3 = 0,477.)
Solución (Asuma log 2 = 0,301, log 3 = 0,477.)
log 120
= log 12⋅10
= log 22⋅3⋅10
= log 22 + log 3 + log 10
= 2 log 2 + log 3 + log 10
= 2⋅0,301 + 0,477 + 1
= 0,602 + 1,477
= 2,079 - [1]
= log 12⋅10
= log 22⋅3⋅10
= log 22 + log 3 + log 10
= 2 log 2 + log 3 + log 10
= 2⋅0,301 + 0,477 + 1
= 0,602 + 1,477
= 2,079 - [1]
[1]
120 = 102,079
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Cambio de Base (Logaritmo)
Fórmula
loga x = logb xlogb a
Ejemplo
log2 70 = ?
(Asuma log 2 = 0,301, log 7 = 0,845.)
Solución (Asuma log 2 = 0,301, log 7 = 0,845.)
log2 70
= log 70log 2 - [1]
= log 7⋅10log 2
= log 7 + log 10log 2
= 0,845 + 10,301
= 1,8450,301
= 1845301
= log 70log 2 - [1]
= log 7⋅10log 2
= log 7 + log 10log 2
= 0,845 + 10,301
= 1,8450,301
= 1845301
[1]
Cambiar la base a 10:
Logaritmo Común.
Logaritmo Común.
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Ejemplo
log2 3 = a
log12 18 = ?
Solución log12 18 = ?
log12 18
= log2 18log2 12
= log2 2⋅32log2 22⋅3 - [1]
= log2 2 + log2 32log2 22 + log2 3
= log2 2 + 2 log2 32 log2 2 + log2 3
= 1 + 2⋅a2⋅1 + a
= 2a + 1a + 2
= log2 18log2 12
= log2 2⋅32log2 22⋅3 - [1]
= log2 2 + log2 32log2 22 + log2 3
= log2 2 + 2 log2 32 log2 2 + log2 3
= 1 + 2⋅a2⋅1 + a
= 2a + 1a + 2
Cerrar
Ejemplo
(log2 27)(log9 16)
Solución (log2 27)(log9 16)
= log2 27 ⋅ log2 16log2 9
= log2 33 ⋅ log2 24log2 32
= 3 log2 3 ⋅ 4 log2 22 log2 3
= 3⋅4⋅12
= 3⋅2
= 6
= log2 27 ⋅ log2 16log2 9
= log2 33 ⋅ log2 24log2 32
= 3 log2 3 ⋅ 4 log2 22 log2 3
= 3⋅4⋅12
= 3⋅2
= 6
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Logaritmo Natural
Definición
ln x = loge x
Un logaritmo natural es un logaritmocuya base es e.
(e es un número constante.
e = 2,71828...)
En matemáticas de la escuela secundaria,
loge = ln.
Constante e
Ejemplo
ln 2ex + 1 = ?
(Asuma ln 2 = 0,69.)
Solución (Asuma ln 2 = 0,69.)
ln 2ex + 1
= ln 2 + ln ex + 1
= ln 2 + (x + 1) ln e
= 0,69 + (x + 1)⋅1
= 0,69 + x + 1
= x + 1,69
= ln 2 + ln ex + 1
= ln 2 + (x + 1) ln e
= 0,69 + (x + 1)⋅1
= 0,69 + x + 1
= x + 1,69
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Crecimiento/Decrecimiento Exponencial: Tiempo
Fórmula
A = A0(1 + r)t
A: Valor finalA0: Valor inicial
r: Tasa de cambio
t: Tiempo
Mediante el uso de logaritmos,
puede encontrar el tiempo t.
Crecimiento/Decrecimiento Exponencial: Valor Final
Interés Compuesto
Ejemplo
La población de una ciudad es de 10.000. Si aumenta a una tasa del 8% anual, ¿después de cuántos años la población será de más de 24.000?
(Asuma log 2,4 = 0,380, log 1,08 = 0,033.)
Solución (Asuma log 2,4 = 0,380, log 1,08 = 0,033.)
A0 = 10000
A = 24000
r = 0,08 /año
10000⋅(1 + 0,08)t = 24000
(1 + 0,08)t = 2,4
1,08t = 2,4
log 1,08t = log 2,4 - [1]
t log 1,08 = log 2,4
t⋅0,033 = 0,380
t = 0,3800,033
= 38033
= 11,xx
→ 12 años - [2]
A = 24000
r = 0,08 /año
10000⋅(1 + 0,08)t = 24000
(1 + 0,08)t = 2,4
1,08t = 2,4
log 1,08t = log 2,4 - [1]
t log 1,08 = log 2,4
t⋅0,033 = 0,380
t = 0,3800,033
= 38033
= 11,xx
→ 12 años - [2]
[1]
Logaritmo común a ambos lados.
[2]
t = 11,xx
→ Después de 11,xx años,
la población será de 24.000.
→ Después de 12 años,
la población será de más de 24.000.
→ Después de 11,xx años,
la población será de 24.000.
→ Después de 12 años,
la población será de más de 24.000.
Cerrar
Ejemplo
Una sustancia radiactiva pesa 100g. Si disminuye a una tasa del 14% por semana, ¿después de cuántas semanas el peso será inferior a 10g?
(Asuma log 0,86 = -0,066.)
Solución (Asuma log 0,86 = -0,066.)
A0 = 100
A = 10
r = -0,14 /semana
100⋅(1 - 0,14)t = 10
(1 - 0,14)t = 110
0,86t = 10-1
log 0,86t = log 10-1 - [1]
t log 0,86 = -log 10
t⋅(-0,066) = -1
0,066t = 1
t = 10,066
= 100066
= 15,xx
→ 16 semanas - [2]
A = 10
r = -0,14 /semana
100⋅(1 - 0,14)t = 10
(1 - 0,14)t = 110
0,86t = 10-1
log 0,86t = log 10-1 - [1]
t log 0,86 = -log 10
t⋅(-0,066) = -1
0,066t = 1
t = 10,066
= 100066
= 15,xx
→ 16 semanas - [2]
[1]
Logaritmo común a ambos lados.
[2]
t = 15,xx
→ Después de 15,xx semanas,
el peso será de 10g.
→ Después de 16 semanas,
el peso será inferior a 10g.
→ Después de 15,xx semanas,
el peso será de 10g.
→ Después de 16 semanas,
el peso será inferior a 10g.
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Crecimiento/Decrecimiento Exponencial Continuo: Tiempo
Fórmula
A = A0ert
A: Valor finalA0: Valor inicial
e: Número constante (= 2,71828...)
r: Tasa de cambio
t: Tiempo
Crecimiento/Decrecimiento Exponencial Continuo: Valor Final
Interés Compuesto
Constante e
Ejemplo
Una sustancia pesa 10g. Si aumenta continuamente a una tasa del 5% por minuto, ¿después de cuántos minutos el peso será superior a 30g?
(Asuma ln 3 = 1,099.)
Solución (Asuma ln 3 = 1,099.)
A0 = 10
A = 30
r = 0,05 /minuto
10⋅e0,05⋅t = 30
e0,05t = 3
0,05t = ln 3 - [1]
0,05t = 1,099
t = 1,0990,05
= 109,95
= 21,xx
→ 22 minutos - [2]
A = 30
r = 0,05 /minuto
10⋅e0,05⋅t = 30
e0,05t = 3
0,05t = ln 3 - [1]
0,05t = 1,099
t = 1,0990,05
= 109,95
= 21,xx
→ 22 minutos - [2]
[2]
t = 21,xx
→ Después de 21,xx minutos,
el peso será de 30g.
→ Después de 22 minutos,
el peso será de más de 30g.
→ Después de 21,xx minutos,
el peso será de 30g.
→ Después de 22 minutos,
el peso será de más de 30g.
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Ejemplo
Una sustancia radiactiva pesa 50g. Si disminuye continuamente a una tasa del 3% por segundo, ¿después de cuántos segundos el peso será inferior a 20g?
(Asuma ln 0,4 = -0,916.)
Solución (Asuma ln 0,4 = -0,916.)
A0 = 50
A = 20
r = -0,03 /segundo
50⋅e-0,03⋅t = 20
e-0,03t = 0,4
-0,03t = ln 0,4
-0,03t = -0,916
0,03t = 0,916
t = 0,9160,03
= 91,63
= 30,xx
→ 31 segundos - [1]
A = 20
r = -0,03 /segundo
50⋅e-0,03⋅t = 20
e-0,03t = 0,4
-0,03t = ln 0,4
-0,03t = -0,916
0,03t = 0,916
t = 0,9160,03
= 91,63
= 30,xx
→ 31 segundos - [1]
[1]
t = 30,xx
→ Después de 30,xx segundos,
el peso será de 20g.
→ Después de 31 segundos,
el peso será inferior a 20g.
→ Después de 30,xx segundos,
el peso será de 20g.
→ Después de 31 segundos,
el peso será inferior a 20g.
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Vida Media
Fórmula
-rt = ln 2
r: Tasa de cambiot: Vida media
La vida media es la cantidad de tiempo
en que un valor
disminuye de forma continua y exponencial
a la mitad.
A0 → A0/2
La fórmula vino de
A0ert = A = A0/2.
Crecimiento/Decrecimiento Exponencial Continuo: Tiempo
Ejemplo
El peso de una sustancia radiactiva disminuye continuamente a un ritmo del 4% por segundo. Encuentre la vida media de la sustancia.
(Asuma ln 2 = 0,69.)
Solución (Asuma ln 2 = 0,69.)
r = -0,04 /segundo
-(-0,04)⋅t = ln 2
0,04t = 0,69
t = 0,690,04
= 694 segundos - [1]
-(-0,04)⋅t = ln 2
0,04t = 0,69
t = 0,690,04
= 694 segundos - [1]
[1]
Una vida media no tiene por qué ser un número entero.
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