Máximo local, Mínimo local
Vea cómo encontrar el máximo local, mínimo local
(+ máximo global, mínimo global).
3 ejemplos y sus soluciones.
Creciente, Decreciente
Creciente
f'(x): (+)
entonces el gráfico de y = f(x) es creciente. (↗)
f'(x): Pendiente de la curva
Decreciente
f'(x): (-)
entonces el gráfico de y = f(x) es decreciente. (↘)
Máximo local, Mínimo local
Máximo local
f'(x): (+) → → (-)
donde f'(x) cambia de (+) a (-).
Si f(x) es diferenciable,
el máximo local es el punto que satisface
f'(x): (+) → 0 → (-)
(Gráfico izquierdo)
Si f(x) es no diferenciable,
el máximo local es el punto que satisface
f'(x): (+) → → (-).
(Gráfico derecho)
Mínimo local
f'(x): (-) → → (+)
donde f'(x) cambia de (-) a (+).
Si f(x) es diferenciable,
el mínimo local es el punto que satisface
f'(x): (-) → 0 → (+)
(Gráfico izquierdo)
Si f(x) es not diferenciable,
el mínimo local es el punto que satisface
f'(x): (-) → → (+).
(Gráfico derecho)
Ejemplo
f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 7
¿Máximo local, Mínimo local?
Solución ¿Máximo local, Mínimo local?
f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 7
f'(x) = 3x2 - 3⋅2x1 - 9 + 0 - [1] [2]
= 3x2 - 6x - 9
= 3(x2 - 2x1 - 3)
= 3(x + 1)(x - 3) = 0 - [3]
x = -1, 3
[5]
f'(x) = 3x2 - 3⋅2x1 - 9 + 0 - [1] [2]
= 3x2 - 6x - 9
= 3(x2 - 2x1 - 3)
= 3(x + 1)(x - 3) = 0 - [3]
x = -1, 3
| x | ... | -1 | ... | 3 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | |||||
| f(x) |
[1]
Encuentra el cero de f'(x): f'(x) = 0.
[4]
[5]
Dibuja una tabla como esta.
Escribe los ceros de f'(x), x = -1, 3, en la fila x.
Escribe los ceros de f'(x), x = -1, 3, en la fila x.
↓
| x | ... | -1 | ... | 3 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) |
[6]
Escribe los signos de f'(x).
↓
| x | ... | -1 | ... | 3 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
[7]
f'(x): (+)
→ f(x): ↗
f'(x): (-)
→ f(x): ↘
→ f(x): ↗
f'(x): (-)
→ f(x): ↘
↓
f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 7
f(-1) = (-1)3 - 3⋅(-1)2 - 9⋅(-1) + 7
= -1 - 3⋅1 + 9 + 7
= -1 - 3 + 16
= 12
f(3) = 33 - 3⋅32 - 9⋅3 + 7
= 27 - 3⋅9 - 27 + 7
= 27 - 27 - 20
= -20
[8]
Máximo local: (-1, 12)
Mínimo local: (3, -20)
f(-1) = (-1)3 - 3⋅(-1)2 - 9⋅(-1) + 7
= -1 - 3⋅1 + 9 + 7
= -1 - 3 + 16
= 12
f(3) = 33 - 3⋅32 - 9⋅3 + 7
= 27 - 3⋅9 - 27 + 7
= 27 - 27 - 20
= -20
| x | ... | -1 | ... | 3 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 12 | ↘ | -20 | ↗ |
Máximo local: (-1, 12)
Mínimo local: (3, -20)
[8]
Complete los valores de f(x).
[9]
Dibuja y = f(x) usando la tabla.
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Ejemplo
f(x) = x4 - 4x3 + 10
¿Máximo local, Mínimo local?
Solución ¿Máximo local, Mínimo local?
f(x) = x4 - 4x3 + 10
f'(x) = 4x3 - 4⋅3x2 + 0
= 4x3 - 12x2
= 4x2(x - 3) = 0 - [1]
x = 0, 3
f'(x) = 4x3 - 4⋅3x2 + 0
= 4x3 - 12x2
= 4x2(x - 3) = 0 - [1]
x = 0, 3
| x | ... | 0 | ... | 3 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | |||||
| f(x) |
↓
| x | ... | 0 | ... | 3 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | - | 0 | - | 0 | + |
| f(x) |
↓
| x | ... | 0 | ... | 3 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | - | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↘ | ↘ | ↗ |
[2]
f'(x): (-)
→ f(x): ↘
f'(x): (+)
→ f(x): ↗
→ f(x): ↘
f'(x): (+)
→ f(x): ↗
↓
f(x) = x4 - 4x3 + 10
f(3) = 34 - 4⋅33 + 10
= 33(3 - 4) + 10
= 27⋅(-1) + 10
= -27 + 10
= -17
[3]
Mínimo local: (3, -17)
f(3) = 34 - 4⋅33 + 10
= 33(3 - 4) + 10
= 27⋅(-1) + 10
= -27 + 10
= -17
| x | ... | 0 | ... | 3 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | - | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↘ | ↘ | -17 | ↗ |
Mínimo local: (3, -17)
[3]
x = 0
f'(x): (-) → (-)
→ x = 0 no es un máximo/mínimo local
→ No tiene que encontrar f(0).
f'(x): (-) → (-)
→ x = 0 no es un máximo/mínimo local
→ No tiene que encontrar f(0).
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Máximo global, Mínimo global
Máximo global
El mayor valor del gráfico
Mínimo global
El menor valor del gráfico
Ejemplo
f(x) = x3 - 3x + 1 [0, 2]
¿Máximo global, mínimo global?
[0, 2]: 0 ≤ x ≤ 2 ¿Máximo global, mínimo global?
Solución
f(x) = x3 - 3x + 1
f'(x) = 3x2 - 3 + 0
= 3x2 - 3
= 3(x2 - 1)
= 3(x + 1)(x - 1) = 0 - [1]
x = -1, 1
[2]
f'(x) = 3x2 - 3 + 0
= 3x2 - 3
= 3(x2 - 1)
= 3(x + 1)(x - 1) = 0 - [1]
x = -1, 1
| x | 0 | ... | 1 | ... | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | |||||
| f(x) |
[2]
Dibuja una tabla como esta.
Escribe los puntos extremos, x = 0, 2.
Y escribe el cero en el intervalo [0, 2]: x = 1.
Escribe los puntos extremos, x = 0, 2.
Y escribe el cero en el intervalo [0, 2]: x = 1.
↓
| x | 0 | ... | 1 | ... | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | - | - | 0 | + | + |
| f(x) |
↓
| x | 0 | ... | 1 | ... | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | - | - | 0 | + | + |
| f(x) | ↘ | ↗ |
[3]
f'(x): (-)
→ f(x): ↘
f'(x): (+)
→ f(x): ↗
→ f(x): ↘
f'(x): (+)
→ f(x): ↗
↓
f(x) = x3 - 3x + 1
f(0) = 03 - 3⋅0 + 1
= 0 - 0 + 1
= 1
f(1) = 13 - 3⋅1 + 1
= 1 - 3 + 1
= -1
f(2) = 23 - 3⋅2 + 1
= 8 - 6 + 1
= 2 + 1
= 3
Máximo global: (2, 3)
Mínimo global: (1, -1)
f(0) = 03 - 3⋅0 + 1
= 0 - 0 + 1
= 1
f(1) = 13 - 3⋅1 + 1
= 1 - 3 + 1
= -1
f(2) = 23 - 3⋅2 + 1
= 8 - 6 + 1
= 2 + 1
= 3
| x | 0 | ... | 1 | ... | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | - | - | 0 | + | + |
| f(x) | 1 | ↘ | -1 | ↗ | 3 |
Máximo global: (2, 3)
Mínimo global: (1, -1)
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