Matriz 2x2 (Matemática)
Vea cómo resolver la matriz 2x2.
17 ejemplos y sus soluciones.
Sumar y Restar Matrices
Ejemplo
A = 1234, B = 2-101
A + B = ?
Solución A + B = ?
A + B
= 1234 + 2-101
= 1 + 22 + (-1)3 + 04 + 1 - [1]
= 3135
= 1234 + 2-101
= 1 + 22 + (-1)3 + 04 + 1 - [1]
= 3135
[1]
Sume los mismos elementos de posición.
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Ejemplo
A = 1234, B = 2-101
A - B = ?
Solución A - B = ?
A - B
= 1234 - 2-101
= 1 - 22 - (-1)3 - 04 - 1
= -1333
= 1234 - 2-101
= 1 - 22 - (-1)3 - 04 - 1
= -1333
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Ejemplo
A = 1234, B = 2-101
2A - 5B = ?
Solución 2A - 5B = ?
2A - 5B
= 2 1234 - 5 2-101
= 2⋅12⋅22⋅32⋅4 - 5⋅25⋅(-1)5⋅05⋅1
= 2468 - 10-505
= 2 - 104 - (-5)6 - 08 - 5
= -8963
= 2 1234 - 5 2-101
= 2⋅12⋅22⋅32⋅4 - 5⋅25⋅(-1)5⋅05⋅1
= 2468 - 10-505
= 2 - 104 - (-5)6 - 08 - 5
= -8963
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Multiplicar Matrices
Ejemplo
A = 1234, B = 2-101
AB = ?
Solución AB = ?
AB = 1234 2-101
= 1⋅2 + 2⋅01⋅(-1) + 2⋅13⋅2 + 4⋅03⋅(-1) + 4⋅1 - [1]
= 2 + 0-1 + 26 + 0-3 + 4
= 2161
= 1⋅2 + 2⋅01⋅(-1) + 2⋅13⋅2 + 4⋅03⋅(-1) + 4⋅1 - [1]
= 2 + 0-1 + 26 + 0-3 + 4
= 2161
[1]
Fila 1, Columna 1:
Multiplica la fila 1 [1 2], y la columna 1 [2 / 0].
1⋅2 + 2⋅0
Fila 1, Columna 2:
Multiplica la fila 1 [1 2] y la columna 2 [-1 / 1].
1⋅(-1) + 2⋅1
Fila 2, Columna 1:
Multiplica la fila 2 [3 4] y la columna 1 [2 / 0].
3⋅2 + 4⋅0
Fila 2, Columna 2:
Multiplica la fila 2 [3 4] y la columna 2 [-1 / 1].
3⋅(-1) + 4⋅1
Multiplica la fila 1 [1 2], y la columna 1 [2 / 0].
1⋅2 + 2⋅0
Fila 1, Columna 2:
Multiplica la fila 1 [1 2] y la columna 2 [-1 / 1].
1⋅(-1) + 2⋅1
Fila 2, Columna 1:
Multiplica la fila 2 [3 4] y la columna 1 [2 / 0].
3⋅2 + 4⋅0
Fila 2, Columna 2:
Multiplica la fila 2 [3 4] y la columna 2 [-1 / 1].
3⋅(-1) + 4⋅1
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Ejemplo
A = 1234, B = 2-101
BA = ?
Solución BA = ?
BA = 2-101 1234
= 2⋅1 + (-1)⋅32⋅2 + (-1)⋅40⋅1 + 1⋅30⋅2 + 1⋅4
= 2 - 34 - 40 + 30 + 4
= -1034 - [1]
= 2⋅1 + (-1)⋅32⋅2 + (-1)⋅40⋅1 + 1⋅30⋅2 + 1⋅4
= 2 - 34 - 40 + 30 + 4
= -1034 - [1]
[1]
En matriz,
AB = BA no siempre es cierto.
AB = BA no siempre es cierto.
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Matriz Cero
Definición
I = [0], 0000, 000000000, ...
Una matriz cero es una matrizcuyos elementos son todos 0.
Entonces AO = OA = O.
Propiedad 1
Si AB = O,
entonces A = O o B = O. ( x )
A diferencia de los números,entonces A = O o B = O. ( x )
AB = O no significa
que A o B sea una matriz cero.
(Puede ser una matriz cero,
pero no siempre una matriz cero.)
Ejemplo
Si AB = O, entonces A = O or B = O.
¿Contraejemplo?
Solución ¿Contraejemplo?
A = 0100, B = 1000 - [1]
AB = 0100 1000
= 0⋅1 + 1⋅00⋅0 + 1⋅00⋅1 + 0⋅00⋅0 + 0⋅0
= 0 + 00 + 00 + 00 + 0
= 0000
= O - [2]
A = 0100, B = 1000
AB = 0100 1000
= 0⋅1 + 1⋅00⋅0 + 1⋅00⋅1 + 0⋅00⋅0 + 0⋅0
= 0 + 00 + 00 + 00 + 0
= 0000
= O - [2]
A = 0100, B = 1000
[1]
Piense en dos matrices A, B
que no son matrices cero
y que parecen hacer AB = O.
que no son matrices cero
y que parecen hacer AB = O.
[2]
A ≠ O, B ≠ O
AB = O.
→ A y B hacen que la declaración dada sea falsa.
→ [A y B] es el contraejemplo.
AB = O.
→ A y B hacen que la declaración dada sea falsa.
→ [A y B] es el contraejemplo.
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Propiedad 2
Si AB = O,
entonces BA = O. ( x )
entonces BA = O. ( x )
Ejemplo
Si AB = O, entonces BA = O.
¿Contraejemplo?
Solución ¿Contraejemplo?
A = 0010, B = 0001 - [1]
AB = 0010 0001
= 0⋅0 + 0⋅00⋅0 + 0⋅11⋅0 + 0⋅01⋅0 + 0⋅1
= 0 + 00 + 00 + 00 + 0
= 0000
= O
BA = 0001 0010
= 0⋅0 + 0⋅10⋅0 + 0⋅00⋅0 + 1⋅10⋅0 + 1⋅0
= 0 + 00 + 00 + 10 + 0
= 0010
≠ O
A = 0010, B = 0001
AB = 0010 0001
= 0⋅0 + 0⋅00⋅0 + 0⋅11⋅0 + 0⋅01⋅0 + 0⋅1
= 0 + 00 + 00 + 00 + 0
= 0000
= O
BA = 0001 0010
= 0⋅0 + 0⋅10⋅0 + 0⋅00⋅0 + 1⋅10⋅0 + 1⋅0
= 0 + 00 + 00 + 10 + 0
= 0010
≠ O
A = 0010, B = 0001
[1]
Piense en dos matrices A, B
que no son matrices cero
y que parecen hacer AB = O.
que no son matrices cero
y que parecen hacer AB = O.
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Matriz Identidad
Definición
AI = IA = A
La matriz identidad es una matriz que satisfaceAI = IA = A.
I = [1], 1001, 100010001, ...
La matriz identidad es una matriz cuadrada.(número de filas = número de columnas)
Los elementos diagonales son 1.
Y los otros elementos son 0.
Ejemplo
Demuestre que el enunciado dado es verdadero.
(A + I)2 = A2 + 2A + I
Solución (A + I)2 = A2 + 2A + I
(A + I)2 = (A + I)(A + I) - [1]
= A2 + AI + IA + I2
= A2 + A + A + I
= A2 + 2A + I
= A2 + AI + IA + I2
= A2 + A + A + I
= A2 + 2A + I
[1]
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Teorema de Cayley-Hamilton (2x2)
Teorema
A = abcd
→ A2 - (a + d)A + (ad - bc)I = O
El teorema de Cayley-Hamilton se puede utilizar→ A2 - (a + d)A + (ad - bc)I = O
para simplificar An.
Ejemplo
A = 2310
Demuestre que A3 = 7A + 6I es cierto.
Solución Demuestre que A3 = 7A + 6I es cierto.
A = 2310
A2 - (2 + 0)A + (2⋅0 - 3⋅1)I = O
A2 - 2A + (0 - 3)I = O
A2 - 2A - 3I = O
A2 = 2A + 3I
A3 = AA2
= A(2A + 3I)
= 2A2 + 3A
= 2(2A + 3I) + 3A
= 4A + 6I + 3A
= 7A + 6I
A3 = 7A + 6I
A2 - (2 + 0)A + (2⋅0 - 3⋅1)I = O
A2 - 2A + (0 - 3)I = O
A2 - 2A - 3I = O
A2 = 2A + 3I
A3 = AA2
= A(2A + 3I)
= 2A2 + 3A
= 2(2A + 3I) + 3A
= 4A + 6I + 3A
= 7A + 6I
A3 = 7A + 6I
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Ejemplo
A = -1111
A10 = ?
Solución A10 = ?
A = -1111
A2 - (-1 + 1)A + ((-1)⋅1 - 1⋅1)I = O
A2 + (-1 - 1)I = O
A2 - 2I = O
A2 = 2I
A10 = (A2)5
= (2I)5
= 25I5 - [1]
= 32I
A2 - (-1 + 1)A + ((-1)⋅1 - 1⋅1)I = O
A2 + (-1 - 1)I = O
A2 - 2I = O
A2 = 2I
A10 = (A2)5
= (2I)5
= 25I5 - [1]
= 32I
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Determinante (2x2)
Fórmula
abcd
→ D = ad - bc
Para una matriz 2x2,→ D = ad - bc
el determinante determina
si existe la matriz inversa.
El determinante se escribe como
D, det(A), abcd.
D ≠ 0 → Matriz inversa existe.
D = 0 → Matriz inversa no existe.
D = 0 → Matriz inversa no existe.
Ejemplo
A = 1234¿Existe una matriz inversa de A?
Solución A = 1234
D = 1⋅4 - 2⋅3
= 4 - 6
= -2 ≠ 0
→ La matriz inversa existe.
D = 1⋅4 - 2⋅3
= 4 - 6
= -2 ≠ 0
→ La matriz inversa existe.
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Matriz Inversa (2x2)
Definición
AA-1 = A-1A = I
La matriz inversa A-1 es una matrizque satisface esta condición.
Si multiplica A y A-1,
obtienes la matriz identidad I.
Fórmula
A = abcd
→ A-1 = 1D d-b-ca
(D = ad - bc)
Primero encuentre el determinante D.→ A-1 = 1D d-b-ca
(D = ad - bc)
Si D ≠ 0, encuentra A-1:
Intercambie a y d.
Cambie los signos de b y c.
Si D = O,
entonces la matriz inversa A-1 no existe.
Ejemplo
A = 4131
A-1 = ?
Solución A-1 = ?
A = 4131
D = 4⋅1 - 3⋅1
= 4 - 3
= 1 ≠ 0
A-1 = 11 1-1-34
= 1-1-34
D = 4⋅1 - 3⋅1
= 4 - 3
= 1 ≠ 0
A-1 = 11 1-1-34
= 1-1-34
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Ejemplo
A = 6834
A-1 = ?
Solución A-1 = ?
A = 6834
D = 6⋅4 - 3⋅8
= 24 - 24
= 0
→ A-1 no existe.
D = 6⋅4 - 3⋅8
= 24 - 24
= 0
→ A-1 no existe.
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Ecuación Matricial (2x2)
Fórmula
AX = B
→ X = A-1B
Si A-1 no existe,→ X = A-1B
entonces la ecuación matricial tiene
infinitas soluciones
o no tiene solución.
Ejemplo
5332 X = 8553
X = ?
Solución X = ?
5332 X = 8553
D = 5⋅2 - 3⋅3
= 10 - 9
= 1
X = 5332-1 8553
= 11 2-3-35 8553 - [1]
= 2-3-35 8553
= 2⋅8 + (-3)⋅52⋅5 + (-3)⋅3-3⋅8 + 5⋅5-3⋅5 + 5⋅3
= 16 - 1510 - 9-24 + 25-15 + 15
= 1110
D = 5⋅2 - 3⋅3
= 10 - 9
= 1
X = 5332-1 8553
= 11 2-3-35 8553 - [1]
= 2-3-35 8553
= 2⋅8 + (-3)⋅52⋅5 + (-3)⋅3-3⋅8 + 5⋅5-3⋅5 + 5⋅3
= 16 - 1510 - 9-24 + 25-15 + 15
= 1110
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Sistema de Ecuaciones Lineales: Usando Matrix
Ejemplo
x - y = 4
2x + y = 5
Sistema de Ecuaciones Lineales 2x + y = 5
Solución
x - y = 4
2x + y = 5
1-121 xy = 45 - [1]
D = 1⋅1 - (-1)⋅2
= 1 - (-2)
= 1 + 2
= 3
xy = 1-121-1 45
= 13 11-21 45
= 13 1⋅4 + 1⋅5-2⋅4 + 1⋅5
= 13 4 + 5-8 + 5
= 13 9-3
= 3-1
x = 3, y = -1
2x + y = 5
1-121 xy = 45 - [1]
D = 1⋅1 - (-1)⋅2
= 1 - (-2)
= 1 + 2
= 3
xy = 1-121-1 45
= 13 11-21 45
= 13 1⋅4 + 1⋅5-2⋅4 + 1⋅5
= 13 4 + 5-8 + 5
= 13 9-3
= 3-1
x = 3, y = -1
[1]
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Ejemplo
x - y = 4
2x - 2y = 8
Solución 2x - 2y = 8
x - y = 4
2x - 2y = 8
1-12-2 xy = 48
D = 1⋅(-2) - (-1)⋅2
= -2 - (-2)
= -2 + 2
= 0
12 = -1-2 = 48 ( o ) - [1]
Infinitas soluciones - [2]
2x - 2y = 8
1-12-2 xy = 48
D = 1⋅(-2) - (-1)⋅2
= -2 - (-2)
= -2 + 2
= 0
12 = -1-2 = 48 ( o ) - [1]
Infinitas soluciones - [2]
[1]
D = 0
Luego, establezca una proporción
usando los elementos de la ecuación matricial.
Vea si la proporción es cierto.
Luego, establezca una proporción
usando los elementos de la ecuación matricial.
Vea si la proporción es cierto.
[2]
La proporción es cierto.
Entonces el sistema dado tiene
infinitas soluciones.
Entonces el sistema dado tiene
infinitas soluciones.
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Ejemplo
x - y = 4
x - y = -3
Solución x - y = -3
x - y = 4
x - y = -3
1-11-1 xy = 4-3
D = 1⋅(-1) - (-1)⋅1
= -1 - (-1)
= -1 + 1
= 0
11 = -1-1 = 4-3 ( x )
No tiene solución - [1]
x - y = -3
1-11-1 xy = 4-3
D = 1⋅(-1) - (-1)⋅1
= -1 - (-1)
= -1 + 1
= 0
11 = -1-1 = 4-3 ( x )
No tiene solución - [1]
[1]
La proporción es falsa.
Entonces el sistema dado
no tiene solución.
Entonces el sistema dado
no tiene solución.
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