Probabilidad (Matemática)
Vea cómo encontrar la probabilidad de un evento.
15 ejemplos y sus soluciones.
Probabilidad
Fórmula
P(A) = n(A)n(S)
P(A): Probabilidad de que suceda un evento A n(A): Número de formas de A suceder
n(S): Número total de formas
P(A): 0 ~ 1
P(A) = 0: A no sucede.
P(A) = 1: A siempre pasa.
Ejemplo
Un dado justo se lanza una vez.
Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 3.
Solución Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 3.
A: {3, 6}
P(A) = 26 - [1]
= 13
P(A) = 26 - [1]
= 13
[1]
Múltiplo de 3: {3, 6}
→ n(A) = 2
Números totales: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
→ n(S) = 6
→ n(A) = 2
Números totales: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
→ n(S) = 6
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Ejemplo
En un frasco hay 3 canicas azules, 4 canicas verdes, 5 canicas rojas.
Si se saca una canica del frasco al azar,
P(canica azul) = ?
Solución Si se saca una canica del frasco al azar,
P(canica azul) = ?
n(A) = 3
n(S) = 3 + 4 + 5
= 7 + 5
= 12
P(A) = 312
= 14
n(S) = 3 + 4 + 5
= 7 + 5
= 12
P(A) = 312
= 14
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Ejemplo
Para la ruleta dada,
si gira la flecha una vez,
P(X ≥ 4) = ?
Solución si gira la flecha una vez,
P(X ≥ 4) = ?
P(A) = 25 - [1]
[1]
X ≥ 4
→ X = 4, 5
→ 2 regiones
→ n(A) = 2
Total: 5 regiones
→ n(S) = 5
→ X = 4, 5
→ 2 regiones
→ n(A) = 2
Total: 5 regiones
→ n(S) = 5
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Probabilidad: no A
Fórmula
P(no A) = 1 - P(A)
Ejemplo
Números: 1 ~ 10
Si elige un número al azar,
P(no un múltiplo de 3) = ?
Solución Si elige un número al azar,
P(no un múltiplo de 3) = ?
A: {3, 6, 9} - [1]
P(A) = 310 - [2]
P(no A) = 1 - 310
= 1010 - 310
= 710
P(A) = 310 - [2]
P(no A) = 1 - 310
= 1010 - 310
= 710
[1]
A: Elegir un múltiplo de 3
[2]
P(A): Probabilidad de elegir un múltiplo de 3
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Probabilidad: A y B
Ejemplo
Números: 1 ~ 10
Si elige un número al azar,
P(impar y primo) = ?
Solución Si elige un número al azar,
P(impar y primo) = ?
A: {1, 3, 5, 7, 9}
B: {2, 3, 5, 7} - [1]
A y B: {3, 5, 7}
n(A y B) = 3
P(A y B) = 310
B: {2, 3, 5, 7} - [1]
A y B: {3, 5, 7}
n(A y B) = 3
P(A y B) = 310
[1]
A: Elegir un número impar
B: Elegir un número primo
B: Elegir un número primo
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Probabilidad: A o B
Ejemplo
Números: 1 ~ 10
Si elige un número al azar,
P(impar o primo) = ?
Solución Si elige un número al azar,
P(impar o primo) = ?
A: {1, 3, 5, 7, 9}
B: {2, 3, 5, 7} - [1]
A o B: {1, 2, 3, 5, 7, 9}
n(A o B) = 6
P(A o B) = 610
= 35
B: {2, 3, 5, 7} - [1]
A o B: {1, 2, 3, 5, 7, 9}
n(A o B) = 6
P(A o B) = 610
= 35
[1]
A: Elegir un número impar
B: Elegir un número primo
B: Elegir un número primo
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Fórmula
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
Ejemplo
P(A) = 0,6, P(B) = 0,7, P(A y B) = 0,4
P(A o B) = ?
Solución P(A o B) = ?
P(A o B) = 0,6 + 0,7 - 0,4
= 1,3 - 0,4
= 0,9
= 1,3 - 0,4
= 0,9
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Ejemplo
P(A) = 0,5, P(A y B) = 0,4, P(A o B) = 0,8
P(B) = ?
Solución P(B) = ?
0,5 + P(B) - 0,1 = 0,8
P(B) + 0,4 = 0,8
P(B) = 0,4
P(B) + 0,4 = 0,8
P(B) = 0,4
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Probabilidad: Eventos Mutuamente Excluyentes
Fórmula
P(A o B) = P(A) + P(B)
Los eventos mutuamente excluyentes son los eventosque no ocurren juntos.
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes,
P(A y B) = 0.
→ P(A o B) = P(A) + P(B)
Probabilidad: A o B
Ejemplo
Las canicas están en un frasco.
La probabilidad de sacar una canica azul es de 0,3.
La probabilidad de sacar una canica verde es de 0,4.
Si se saca una canica del frasco al azar,
P(canica azul o canica verde) = ?
Solución La probabilidad de sacar una canica azul es de 0,3.
La probabilidad de sacar una canica verde es de 0,4.
Si se saca una canica del frasco al azar,
P(canica azul o canica verde) = ?
P(A o B) = 0,3 + 0,4 - [1]
= 0,7
= 0,7
[1]
A: Escoger una canica azul
B: Escoger una canica verde
No puedes elegir una canica azul y elegir una canica verde al mismo tiempo.
→ A y B no pueden suceder juntos.
→ A y B son eventos mutuamente excluyentes.
→ P(A o B) = P(A) + P(B)
B: Escoger una canica verde
No puedes elegir una canica azul y elegir una canica verde al mismo tiempo.
→ A y B no pueden suceder juntos.
→ A y B son eventos mutuamente excluyentes.
→ P(A o B) = P(A) + P(B)
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Probabilidad: Eventos Independientes
Fórmula
P(A y B) = P(A)⋅P(B)
Los eventos independientes son los eventosque no se afectan entre sí.
Entonces P (A) y P (B) no se afectan entre sí.
Ejemplo
Un dado justo y una moneda se lanzan una vez.
P(3 y cabeza) = ?
Solución P(3 y cabeza) = ?
P(A) = 16
P(B) = 12 - [1]
P(A y B) = 16⋅12 - [2]
= 112
P(B) = 12 - [1]
P(A y B) = 16⋅12 - [2]
= 112
[1]
A: Obtener un 3
(1 ~ 6)
B: Obtener una cabeza
(cabeza, cola)
(1 ~ 6)
B: Obtener una cabeza
(cabeza, cola)
[2]
Obtener un 3 (A) y obtener una cabeza (B) no se afectan entre sí.
→ Eventos independientes
→ Eventos independientes
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Ejemplo
En un frasco hay 5 canicas azules, 4 canicas verdes, 3 canicas rojas.
Una canica se toma al azar del frasco y se reemplaza.
Esto se repite dos veces.
P(2 canicas azules) = ?
Solución Una canica se toma al azar del frasco y se reemplaza.
Esto se repite dos veces.
P(2 canicas azules) = ?
1) 1ra selección
n(S) = 5 + 4 + 3
= 9 + 3
= 12
P(A) = 512 - [1]
2) 2da selección
n(S) = 5 + 4 + 3
= 9 + 3
= 12
P(B) = 512 - [2] [3]
P(A y B) = 512⋅512
= 25144
n(S) = 5 + 4 + 3
= 9 + 3
= 12
P(A) = 512 - [1]
2) 2da selección
n(S) = 5 + 4 + 3
= 9 + 3
= 12
P(B) = 512 - [2] [3]
P(A y B) = 512⋅512
= 25144
[1]
A: Escoger una canica azul en la 1ra selección
P(A) = (5 canicas azules)/(12 canicas)
P(A) = (5 canicas azules)/(12 canicas)
[2]
A: Escoger una canica azul en la 2da selección
P(B) = (5 canicas azules)/(12 canicas)
P(B) = (5 canicas azules)/(12 canicas)
[3]
Después de la 1ra selección,
se reemplaza la canica azul.
→ Las canicas del frasco son las mismas.
→ La 1ra selección (A) no afecta a la 2da selección (B).
→ A y B son eventos independientes.
se reemplaza la canica azul.
→ Las canicas del frasco son las mismas.
→ La 1ra selección (A) no afecta a la 2da selección (B).
→ A y B son eventos independientes.
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Ejemplo
A, B: Eventos independientes
P(A) = 47, P(A y B) = 17
P(A o B) = ?
Solución P(A) = 47, P(A y B) = 17
P(A o B) = ?
47⋅P(B) = 17
4⋅P(B) = 7
P(B) = 14
P(A o B) = 47 + 14 - 17 - [1]
= 1628 + 728 - 428
= 16 + 328
= 1928
4⋅P(B) = 7
P(B) = 14
P(A o B) = 47 + 14 - 17 - [1]
= 1628 + 728 - 428
= 16 + 328
= 1928
[1]
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
Probabilidad: A o B
Probabilidad: A o B
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Probabilidad: Eventos Dependientes
Fórmula
P(A y B) = P(A)⋅P(B')
Los eventos dependientes son los eventosque se afectan entre sí.
Entonces P(A) afecta P(B):
P(B) → P(B').
Probabilidad: Eventos Independientes
Ejemplo
En un frasco hay 5 canicas azules, 4 canicas verdes, 3 canicas rojas.
Una canica se escoge al azar del frasco y no se reemplaza.
Esto se repite dos veces.
P(2 canicas azules) = ?
Solución Una canica se escoge al azar del frasco y no se reemplaza.
Esto se repite dos veces.
P(2 canicas azules) = ?
1) 1ra selección
n(S) = 5 + 4 + 3
= 9 + 3
= 12
P(A) = 512 - [1]
2) 2da selección
n(S) = 4 + 4 + 3
= 8 + 3
= 11
P(B) = 411 - [2] [3]
P(A y B) = 512⋅411
= 53⋅111
= 533
n(S) = 5 + 4 + 3
= 9 + 3
= 12
P(A) = 512 - [1]
2) 2da selección
n(S) = 4 + 4 + 3
= 8 + 3
= 11
P(B) = 411 - [2] [3]
P(A y B) = 512⋅411
= 53⋅111
= 533
[1]
A: Escoger una canica azul en la 1ra selección
P(A) = (5 canicas azules)/(12 azules)
P(A) = (5 canicas azules)/(12 azules)
[2]
B: Escoger una canica azul en la 2da selección
P(B) = (4 canicas azules)/(11 azules)
P(B) = (4 canicas azules)/(11 azules)
[3]
Después de la 1ra selección,
la canica azul no se reemplaza.
→ Las canicas del frasco han cambiado.
→ La 1ra selección (A) afecta a la 2da selección (B).
→ A y B son eventos dependientes.
la canica azul no se reemplaza.
→ Las canicas del frasco han cambiado.
→ La 1ra selección (A) afecta a la 2da selección (B).
→ A y B son eventos dependientes.
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Probabilidad Condicional
Fórmula
P(B|A) = P(A y B)P(A)
P(B|A) (o P(B/A)) significa la probabilidad de A y Bcuando A ya sucedió.
B|A se lee como [B dado A].
Ejemplo
Al 80% de los estudiantes les gusta la manzana.
Al 50% de los estudiantes les gusta la manzana y el plátano.
Si eliges a un estudiante al que le guste la manzana,
calcule la probabilidad de que al estudiante también le guste el plátano.
Solución Al 50% de los estudiantes les gusta la manzana y el plátano.
Si eliges a un estudiante al que le guste la manzana,
calcule la probabilidad de que al estudiante también le guste el plátano.
P(A) = 0.8
P(A y B) = 0.5 - [1]
P(B|A) = 0.50.8
= 58
P(A y B) = 0.5 - [1]
P(B|A) = 0.50.8
= 58
[1]
A: Al estudiante le gusta la manzana.
B: Al estudiante le gusta el plátano.
A y B: Al estudiante le gusta la manzana y el plátano.
B: Al estudiante le gusta el plátano.
A y B: Al estudiante le gusta la manzana y el plátano.
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Ejemplo
La probabilidad de que un estudiante quedarse dormido es 4%.
La probabilidad de que el estudiante se quede dormido y llegue tarde a la escuela es 3%.
Si el estudiante se despertaba y se daba cuenta de que se había quedado dormido,
calcule la probabilidad de que el estudiante llegue tarde a la escuela.
Solución La probabilidad de que el estudiante se quede dormido y llegue tarde a la escuela es 3%.
Si el estudiante se despertaba y se daba cuenta de que se había quedado dormido,
calcule la probabilidad de que el estudiante llegue tarde a la escuela.
P(A) = 0.04
P(A y B) = 0.03
P(B|A) = 0.30.4
= 34
P(A y B) = 0.03
P(B|A) = 0.30.4
= 34
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