Racional (Matemática)
Vea cómo simplificar una expresión/ecuación/desigualdad racional.
17 ejemplos y sus soluciones.
Simplificar una Expresión Racional
Ejemplo
x - 5x2 - 7x + 10
Solución x2 - 7x + 10
= (x - 2)(x - 5) - [1]
x - 5x2 - 7x + 10
= x - 5(x - 2)(x - 5)
= 1x - 2
= (x - 2)(x - 5) - [1]
x - 5x2 - 7x + 10
= x - 5(x - 2)(x - 5)
= 1x - 2
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Ejemplo
2x2 + x - 1x2 - 2x - 3
Solución 2x2 + x - 1
= (2x - 1)(x + 1) - [1]
x2 - 2x - 3
= (x - 3)(x + 1) - [1]
2x2 + x - 1x2 - 2x - 3
= (2x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 1)
= 2x - 1x - 3
= (2x - 1)(x + 1) - [1]
x2 - 2x - 3
= (x - 3)(x + 1) - [1]
2x2 + x - 1x2 - 2x - 3
= (2x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 1)
= 2x - 1x - 3
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Dividing Rational Expressions
Ejemplo
x3x - 1 ÷ x + 72x
Solución x3x - 1 ÷ x + 72x
= x3x - 1 ⋅ 2xx + 7
= 2x2(3x - 1)(x - 7)
= x3x - 1 ⋅ 2xx + 7
= 2x2(3x - 1)(x - 7)
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Ejemplo
x2 - 4x - 1 ÷ x + 25
Solución x2 - 4
= (x + 2)(x - 2) - [1]
x2 - 4x - 1 ÷ x + 25
= (x + 2)(x - 2)x - 1 ÷ x + 25
= (x + 2)(x - 2)x - 1 ⋅ 5x + 2
= 5(x - 2)x - 1
= (x + 2)(x - 2) - [1]
x2 - 4x - 1 ÷ x + 25
= (x + 2)(x - 2)x - 1 ÷ x + 25
= (x + 2)(x - 2)x - 1 ⋅ 5x + 2
= 5(x - 2)x - 1
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Fracción Compleja
Fórmula
ab cd = adbc
Ejemplo
x + 2x 6x - 1
Solución x + 2x 6x - 1 = (x + 2)(x - 1)6x
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Ejemplo
4x - 1x (2x - 1)2
Solución 4x - 1x
= 4x⋅xx - 1x
= 4x2x - 1x
= 4x2 - 1x
= (2x)2 - 12x
= (2x + 1)(2x - 1)x - [1]
4x - 1x (2x - 1)2
= (2x + 1)(2x - 1)x (2x - 1)21
= (2x + 1)(2x - 1)⋅1x(2x - 1)2
= (2x + 1)x(2x - 1)
= 4x⋅xx - 1x
= 4x2x - 1x
= 4x2 - 1x
= (2x)2 - 12x
= (2x + 1)(2x - 1)x - [1]
4x - 1x (2x - 1)2
= (2x + 1)(2x - 1)x (2x - 1)21
= (2x + 1)(2x - 1)⋅1x(2x - 1)2
= (2x + 1)x(2x - 1)
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Sumar y Restar Expresiones Racionales
Ejemplo
3x + xx + 2
Solución (MCM) = x(x + 2) - [1]
3x + xx + 2
= 3(x + 2)x(x + 2) + x⋅xx(x + 2) - [2]
= 3x + 6x(x + 2) + x2x(x + 2)
= 3x + 6 + x2x(x + 2)
= x2 + 3x + 6x(x + 2)
3x + xx + 2
= 3(x + 2)x(x + 2) + x⋅xx(x + 2) - [2]
= 3x + 6x(x + 2) + x2x(x + 2)
= 3x + 6 + x2x(x + 2)
= x2 + 3x + 6x(x + 2)
[1]
MCM de los denominadores
[2]
Cambie los denominadores a x(x + 2)
multiplicando los factores que faltan.
multiplicando los factores que faltan.
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Ejemplo
2xx2 - 1 - 5x2 + x
Solución x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
x2 + x = x(x + 1)
(MCM) = x(x + 1)(x - 1)
2xx2 - 1 - 5x2 + x
= 2x(x + 1)(x - 1) - 5x(x + 1)
= 2x⋅xx(x + 1)(x - 1) - 5(x - 1)x(x + 1)(x - 1)
= 2x2x(x + 1)(x - 1) - 5x - 5x(x + 1)(x - 1)
= 2x2 - (5x - 5)x(x + 1)(x - 1)
= 2x2 - 5x + 5x(x + 1)(x - 1)
x2 + x = x(x + 1)
(MCM) = x(x + 1)(x - 1)
2xx2 - 1 - 5x2 + x
= 2x(x + 1)(x - 1) - 5x(x + 1)
= 2x⋅xx(x + 1)(x - 1) - 5(x - 1)x(x + 1)(x - 1)
= 2x2x(x + 1)(x - 1) - 5x - 5x(x + 1)(x - 1)
= 2x2 - (5x - 5)x(x + 1)(x - 1)
= 2x2 - 5x + 5x(x + 1)(x - 1)
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Valor Excluido
Fórmula
ab
Excluded value: b = 0
El valor excluido de una fracciónExcluded value: b = 0
es el valor x
que hace que el denominador sea 0.
El denominador no puede ser 0.
Por tanto, el valor excluido
no puede ser la solución.
Para encontrar el valor excluido,
establece (denominador) = 0.
Ejemplo
x2 + 5x - 13x - 2
Solución x2 + 5x - 13x - 2
3x - 2 = 0
3x = 2
x = 23
3x - 2 = 0
3x = 2
x = 23
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Ecuación Racional
Ejemplo
3x + xx - 1 = 1x(x - 1)
Solución 3x + xx - 1 = 1x(x - 1)
x ≠ 0 - [1]
x - 1 ≠ 0 - [1]
x ≠ 1
(MCM) = x(x - 1) - [2]
3x⋅x(x - 1) + xx - 1⋅x(x - 1) = 1x(x - 1)⋅x(x - 1) - [3]
3(x - 1) + x⋅x = 1
3x - 3 + x2 = 1
x2 + 3x - 3 - 1 = 0
x2 + 3x - 4 = 0
(x + 4)(x - 1) = 0 - [4] [5]
1) x + 4 = 0
x = -4 ( o ) - [6]
2) x - 1 = 0
x = 1 ( x ) - [7]
x = -4
x ≠ 0 - [1]
x - 1 ≠ 0 - [1]
x ≠ 1
(MCM) = x(x - 1) - [2]
3x⋅x(x - 1) + xx - 1⋅x(x - 1) = 1x(x - 1)⋅x(x - 1) - [3]
3(x - 1) + x⋅x = 1
3x - 3 + x2 = 1
x2 + 3x - 3 - 1 = 0
x2 + 3x - 4 = 0
(x + 4)(x - 1) = 0 - [4] [5]
1) x + 4 = 0
x = -4 ( o ) - [6]
2) x - 1 = 0
x = 1 ( x ) - [7]
x = -4
[1]
[2]
MCM de los denominadores
[3]
× x(x - 1) a ambos lados.
[6]
x = -4 satisface x ≠ 0, x ≠ 1.
Entonces x = -4 es la raíz.
Entonces x = -4 es la raíz.
[7]
x = 1 no satisface x ≠ 0, x ≠ 1.
Entonces x = 1 no es la raíz.
Entonces x = 1 no es la raíz.
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Desigualdad Racional
Ejemplo
4x - 1 + 1 ≤ 1x
Solución 4x - 1 + 1 ≤ 1x
x - 1 ≠ 0 - [1]
x ≠ 1
x ≠ 0 - [1]
(MCM) = x(x - 1) - [2]
4⋅xx(x - 1) + x(x - 1)x(x - 1) ≤ 1⋅(x - 1)x(x - 1) - [3]
4xx(x - 1) + x2 - xx(x - 1) ≤ x - 1x(x - 1)
4xx(x - 1) + x2 - xx(x - 1) - x - 1x(x - 1) ≤ 0
4x + x2 - x - (x - 1)x(x - 1) ≤ 0
x2 + 3x - x + 1x(x - 1) ≤ 0
x2 + 2x + 1x(x - 1) ≤ 0
(x + 1)2x(x - 1) ≤ 0 - [4]
(x + 1)2x(x - 1)⋅(x(x - 1))2 ≤ 0⋅(x(x - 1))2 - [5]
(x + 1)2x(x - 1) ≤ 0
≠ 0≠ 0 - [6]
x = -1, 0 < x < 1
x - 1 ≠ 0 - [1]
x ≠ 1
x ≠ 0 - [1]
(MCM) = x(x - 1) - [2]
4⋅xx(x - 1) + x(x - 1)x(x - 1) ≤ 1⋅(x - 1)x(x - 1) - [3]
4xx(x - 1) + x2 - xx(x - 1) ≤ x - 1x(x - 1)
4xx(x - 1) + x2 - xx(x - 1) - x - 1x(x - 1) ≤ 0
4x + x2 - x - (x - 1)x(x - 1) ≤ 0
x2 + 3x - x + 1x(x - 1) ≤ 0
x2 + 2x + 1x(x - 1) ≤ 0
(x + 1)2x(x - 1) ≤ 0 - [4]
(x + 1)2x(x - 1)⋅(x(x - 1))2 ≤ 0⋅(x(x - 1))2 - [5]
(x + 1)2x(x - 1) ≤ 0
≠ 0≠ 0 - [6]
x = -1, 0 < x < 1
[1]
[2]
MCM de los denominadores
[3]
Cambie los denominadores al MCM: x(x - 1).
[5]
× (denominator)2 a ambos lados.
(denominator)2 is (+).
Entonces, el orden del signo de desigualdad
no cambia.
(denominator)2 is (+).
Entonces, el orden del signo de desigualdad
no cambia.
[6]
Escribe ≠ 0 por debajo de x y (x - 1).
[7]
Grafica y = (x + 1)2x(x - 1) en un plano coordenado.
Desigualdad Polinomial
Desigualdad Polinomial
[8]
(x + 1)2x(x - 1) ≤ 0
Entonces colorea la región
donde el gráfico está debajo del eje x.
x ≠ 0, x ≠ 1
Así que dibuja círculos vacíos en x = 0, 1.
El signo de desigualdad, ≤, incluye '='.
Entonces dibuja un círculo completo en x = -1.
Entonces colorea la región
donde el gráfico está debajo del eje x.
x ≠ 0, x ≠ 1
Así que dibuja círculos vacíos en x = 0, 1.
El signo de desigualdad, ≤, incluye '='.
Entonces dibuja un círculo completo en x = -1.
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Descomposición de Fracción Parcial
La descomposición de fracciones parciales es una
forma de dividir una expresión racional
en sus fracciones parciales.
(= fracciones con denominadores reducidos)
Ejemplo
3x - 2x(x - 1)
Solución 3x - 2x(x - 1) = Ax + Bx - 1 - [1]
= A(x - 1)x(x - 1) + Bxx(x - 1)
= A(x - 1) + Bxx(x - 1)
= Ax - A + Bxx(x - 1)
= (A + B)x - Ax(x - 1)
A + B = 3 - [2]
-A = -2 - [3]
A = 2 - [4]
2 + B = 3 - [5]
B = 1
(dada) = 2x + 1x - 1 - [6]
= A(x - 1)x(x - 1) + Bxx(x - 1)
= A(x - 1) + Bxx(x - 1)
= Ax - A + Bxx(x - 1)
= (A + B)x - Ax(x - 1)
A + B = 3 - [2]
-A = -2 - [3]
A = 2 - [4]
2 + B = 3 - [5]
B = 1
(dada) = 2x + 1x - 1 - [6]
[1]
Denominador: x(x - 1)
Factores reducidos: x, (x - 1)
Entonces, establezca
(dada) = A/x + B/(x - 1).
El objetivo es encontrar A y B.
Factores reducidos: x, (x - 1)
Entonces, establezca
(dada) = A/x + B/(x - 1).
El objetivo es encontrar A y B.
[2]
Numeradores de ambos lados: 3x - 2 = (A + B)x - A
x coeficientes: A + B = 3
x coeficientes: A + B = 3
[3]
Constantes: -A = -2
[4]
-A = -2
A = 2
A = 2
[5]
A = 2 → A + B = 3
Sistema de Ecuaciones Lineales
Sistema de Ecuaciones Lineales
[6]
A = 2, B = 1 → A/x + B/(x - 1)
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Ejemplo
5x2 - 1x2(x + 1)
Solución 5x2 - 1x2(x + 1) = Ax + Bx2 + Cx + 1 - [1]
= Ax(x + 1)x2(x + 1) + B(x + 1)x2(x + 1) + Cx2x2(x + 1)
= Ax2 + Axx2(x + 1) + Bx + Bx2(x + 1) + Cx2x2(x + 1)
= Ax2 + Ax + Bx + B + Cx2x2(x + 1)
= (A + C)x2 + (A + B)x + Bx2(x + 1)
A + C = 5 - [2]
A + B = 0 - [3]
B = -1 - [4]
A + (-1) = 0 - [5]
A = 1
1 + C = 5 - [6]
C = 4
(dada) = 1x - 1x2 + 4x + 1 - [7]
= Ax(x + 1)x2(x + 1) + B(x + 1)x2(x + 1) + Cx2x2(x + 1)
= Ax2 + Axx2(x + 1) + Bx + Bx2(x + 1) + Cx2x2(x + 1)
= Ax2 + Ax + Bx + B + Cx2x2(x + 1)
= (A + C)x2 + (A + B)x + Bx2(x + 1)
A + C = 5 - [2]
A + B = 0 - [3]
B = -1 - [4]
A + (-1) = 0 - [5]
A = 1
1 + C = 5 - [6]
C = 4
(dada) = 1x - 1x2 + 4x + 1 - [7]
[1]
Denominador: x2(x + 1)
Factores reducidos: x, x2, (x + 1)
Entonces, establezca
(dada) = A/x + B/x2 + C/(x + 1).
El objetivo es encontrar A, B y C.
Factores reducidos: x, x2, (x + 1)
Entonces, establezca
(dada) = A/x + B/x2 + C/(x + 1).
El objetivo es encontrar A, B y C.
[2]
Numeradores de ambos lados:
5x2 - 1 = (A + C)x2 + (A + B)x + B
x2 coeficientes: A + C = 5
5x2 - 1 = (A + C)x2 + (A + B)x + B
x2 coeficientes: A + C = 5
[3]
x coeficientes: A + B = 0
[4]
Constantes: B = -1
[5]
B = -1 → A + B = 0
[6]
A = 1 → A + C = 5
[7]
A = 1, B = -1, C = 4
→ A/x + B/x2 + C/(x + 1)
→ A/x + B/x2 + C/(x + 1)
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Fórmula
1AB = 1B - A(1A - 1B)
Cuando B - A = (constante),sa esta fórmula.
Ejemplo
1x(x + 1)
Solución 1x(x + 1)
= 1(x + 1) - x(1x - 1x + 1)
= 11(1x - 1x + 1)
= 1x - 1x + 1
= 1(x + 1) - x(1x - 1x + 1)
= 11(1x - 1x + 1)
= 1x - 1x + 1
[1]
(x + 1) - x = 1 (constante)
Entonces usa la fórmula.
Entonces usa la fórmula.
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Función Racional: Gráfico
Gráfico: y = a/x (a > 0)
Entonces el gráfico está
en la parte superior derecha y en la parte inferior izquierda
de los ejes.
Gráfico: y = a/x (a < 0)
Entonces el gráfico está
en la parte superior izquierda y en la parte inferior derecha
de los ejes.
Asíntotas
y = ax
Asíntotas: x = 0
y = 0
una asíntota vertical
y una asíntota horizontal.
(asíntota: una línea que sigue el gráfico)
Para encontrar las asíntotas de y = ax,
1. Establezca (denominador) = 0.
→ x = 0
2. Establezca (fracción) = 0.
→ y = 0
Ejemplo
Gráfica y = 4x - 1 + 2.
Solución y = 4x - 1 + 2
x - 1 = 0
x = 1
y = 0 + 2
y = 2
x - 1 = 0
x = 1
y = 0 + 2
y = 2
[1]
Primero dibuja las asíntotas
x = 1, y = 2.
(líneas discontinuas)
y = 4/(x - 1) + 2
El numerador, 4, es (+).
Entonces dibuja el gráfico
en la parte superior derecha y en la parte inferior izquierda
de las asíntotas.
x = 1, y = 2.
(líneas discontinuas)
y = 4/(x - 1) + 2
El numerador, 4, es (+).
Entonces dibuja el gráfico
en la parte superior derecha y en la parte inferior izquierda
de las asíntotas.
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Ejemplo
Gráfica y = 13 - x - 1.
Solución y = 13 - x - 1
y = -1x - 3 - 1
x - 3 = 0
x = 3
y = 0 - 1
y = -1
y = -1x - 3 - 1
x - 3 = 0
x = 3
y = 0 - 1
y = -1
[1]
Primero dibuja las asíntotas
x = 3, y = -1.
(líneas discontinuas)
y = -1/(x - 3) - 1
El numerador, -1, es (-).
Entonces dibuja el gráfico
en la parte superior izquierda y en la parte inferior derecha
de las asíntotas.
x = 3, y = -1.
(líneas discontinuas)
y = -1/(x - 3) - 1
El numerador, -1, es (-).
Entonces dibuja el gráfico
en la parte superior izquierda y en la parte inferior derecha
de las asíntotas.
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Ejemplo
Gráfica y = 3x - 5x - 2.
Solución y = 3x - 5x - 2
= 3(x - 2) + 3⋅2 - 5x - 2- [1]
= 3(x - 2) + 6 - 5x - 2
= 3(x - 2) + 1x - 2
= 3(x - 2)x - 2 + 1x - 2
= 3 + 1x - 2
y = 1x - 2 + 3
x - 2 = 0
x = 2
y = 0 + 3
y = 3
= 3(x - 2) + 3⋅2 - 5x - 2- [1]
= 3(x - 2) + 6 - 5x - 2
= 3(x - 2) + 1x - 2
= 3(x - 2)x - 2 + 1x - 2
= 3 + 1x - 2
y = 1x - 2 + 3
x - 2 = 0
x = 2
y = 0 + 3
y = 3
[1]
El numerador, 3x - 5, tiene una variable: x.
Para encontrar las asíntotas,
el numerador debe ser una constante.
Entonces, para eliminar x en el numerador,
cambie 3x por 3(x - 2).
(x - 2): denominador
3⋅(-2) se agrega.
Entonces, para deshacer el cambio,
escriba + 3⋅2.
Para encontrar las asíntotas,
el numerador debe ser una constante.
Entonces, para eliminar x en el numerador,
cambie 3x por 3(x - 2).
(x - 2): denominador
3⋅(-2) se agrega.
Entonces, para deshacer el cambio,
escriba + 3⋅2.
[2]
Primero dibuja las asíntotas
x = 2, y = 3.
(líneas discontinuas)
y = 1/(x - 2) + 3
El numerador, 1, es (+).
Entonces dibuja el gráfico
en la parte superior derecha y en la parte inferior izquierda
de las asíntotas.
x = 2, y = 3.
(líneas discontinuas)
y = 1/(x - 2) + 3
El numerador, 1, es (+).
Entonces dibuja el gráfico
en la parte superior derecha y en la parte inferior izquierda
de las asíntotas.
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