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Español

Reglas de Derivación

Vea cómo encontrar la derivada de f(x)
usando las reglas de derivación.
20 ejemplos y sus soluciones.

Derivada: Definición

Definición


f'(a) = limh → 0f(a + h) - f(a)h
Derivada: Pendiente
f'(a): Pendiente de y = f(x) en x = a

f'(a) = limx → af(x) - f(a)x - a
También puedes expresar la derivada de esta manera.

Ejemplo

f(x) = x2 - 3x + 1

f'(2) = ?
(Usa la definición de derivada.)
Solución

Diferenciable

Definición


limx → a-f'(x) = limx → a+f'(x)
Derivar: Encontrar la derivada.
Diferenciable en x = a: y = f'(x) existen en x = a. (= derivable)
(pendiente a la izquierda) = (pendiente a la derecha)
→ y = f(x) es una curva suave en x = a.

Cómo averiguarlo:
1. Demuestre que f(x) es continua en x = a.
(límite por la izquierda) = (límite por la derecha) = f(a)
2. (derivada por la izquierda) = (derivada por la derecha)

Ejemplo

f(x) = {x2 + 2 (x < 1)
-x2 + 4x (x ≥ 1)


Determina si f(x) es diferenciable en x = 1.
Solución

Ejemplo

f(x) = |x|

Determina si f(x) es diferenciable en x = 0.
Solución

Función Derivada

Definición

f'(x) = limh → 0f(x + h) - f(x)x
Una función derivada y = f'(x) muestra
la pendiente de y = f(x) para cada x.

Cómo Escribir

f'(x), y', dydx, ddxf(x)
Estas son las formas de escribir la función derivada.

Derivada de una Constante

Fórmula

[C]' = 0
La gráfica de y = C es una línea horizontal.
→ (pendiente) = 0
→ y' = 0
→ [C]' = 0
Ecuación Lineal (Dos Variables)

Derivada de mx

Fórmula

[mx]' = m
Pendiente de y = mx: m
→ [mx]' = m
Ecuación Lineal (Dos Variables)

Derivada de a⋅f(x) + b⋅g(x)

Propiedad

y = af(x) + bg(x)
→ y' = af'(x) + bg'(x)

Derivada de xn

Fórmula

[xn]' = nxn - 1
n: Número real

Ejemplo

y = x3

y' = ?
Solución

Ejemplo

f(x) = 2x7 - 5x + 3

f'(x) = ?
Solución

Ejemplo

y = 6x6 - 3x3 + 2x2 - 1x3

y' = ?
Solución

Ejemplo

y = √x

y' = ?
Solución

Ejemplo

y = 14x3

y' = ?
Solución

Ejemplo

y = xe

y' = ?
Solución

Derivada de f(x)g(x)

Fórmula

[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Ejemplo

y = (2x3 - 5)(4x2 + x)

y' = ?
Solución

Ejemplo

f(x) = (x5 - 2x)(7x2 + 3)

f(1) = ?
Solución

Derivada de 1g(x)

Fórmula

(1g(x))' = -g'(x)(g(x))2

Ejemplo

y = 1x3 + 2x

y' = ?
Solución Otra Solución

Derivada de f(x)g(x)

Fórmula

(f(x)g(x))' = -f'(x)g(x) - f(x)g'(x)(g(x))2

Ejemplo

y = 4xx2 - 3

y' = ?
Solución

Derivada de g(f(x))

Fórmula

[g(f(x))]' = g'(f(x))f'(x)
1. Piensa f(x) como un todo
y derivar g(f(x)). → g'(f(x))
2. Derivar f(x). → f'(x)

Ejemplo

y = (2x2 - 1)8
y' = ?
Solución

Derivada de f(x, y) = 0

Función Implícita

f(x, y) = 0
Una función implícita es una función
que no se puede cambiar a [y = ...] o [x = ...].
(= x e y están mezclados.)

Fórmula

f(x) → f'(x)
g(y) → g'(y)y'
Al derivar el término y g(y),
primero derivar g(y), g'(y),
entonces escribe y'.
y' = dy/dx
Derivada de g(f(x))

Ejemplo

x2 + y2 = 1
dydx = ?
Solución

Ejemplo

x3 + xy2 - 2y3 + 2 = 0
dydx en (1, 1)?
Solución

Derivada de una Función Paramétrica

Fórmula

dydx = dydt dxdt

Ejemplo

x = t3 - 2t
y = t2 + 1

dydx en t = 1?
Solución

Derivada de una Función Inversa

Definición

dxdy
Cuando se encuentra la función inversa,
x e y se intercambian.
Entonces, la derivada de una función inversa es dx/dy.

Fórmula

dxdy = 1 dydx

Ejemplo

y = x5 - x + 8
dxdy = ?
Solución

Ejemplo

y = x3 + 2
dxdy en y = 3?
Solución

Segunda Derivada

Cómo Escribir

f''(x), y'', d2ydx2, d2dx2f(x)
Estas son las formas de escribir la segunda derivada.
Para encontrar la segunda derivada,
derivar f(x) dos veces.
Punto de Inflexión

Ejemplo

f(x) = x5 - 7x2 - 8x + 1
f''(x) = ?
Solución