Reglas de Derivación
Vea cómo encontrar la derivada de f(x)
usando las reglas de derivación.
20 ejemplos y sus soluciones.
Derivada: Definición
Definición
f'(a) = limx → af(x) - f(a)x - a
Ejemplo
f(x) = x2 - 3x + 1
f'(2) = ?
(Usa la definición de derivada.)
Solución f'(2) = ?
(Usa la definición de derivada.)
f'(2) = limh → 0f(2 + h) - f(2)h
= limh → 0[(2 + h)2 - 3(2 + h) + 1] - [22 - 3⋅2 + 1]h
= limh → 022 + 2⋅2⋅h + h2 - 6 - 3h + 1 - [4 - 6 + 1]h - [1]
= limh → 04 + 4h + h2 - 6 - 3h + 1 - 4 + 6 -1h
= limh → 0h2 + hh
= limh → 0h + 11
= 0 + 11 - [2]
= 11
= 1
= limh → 0[(2 + h)2 - 3(2 + h) + 1] - [22 - 3⋅2 + 1]h
= limh → 022 + 2⋅2⋅h + h2 - 6 - 3h + 1 - [4 - 6 + 1]h - [1]
= limh → 04 + 4h + h2 - 6 - 3h + 1 - 4 + 6 -1h
= limh → 0h2 + hh
= limh → 0h + 11
= 0 + 11 - [2]
= 11
= 1
Gráfico
f'(2) = 1: La pendiente de y = f(x) es 1 en x = 2.
[1]
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Diferenciable
Definición
limx → a-f'(x) = limx → a+f'(x)
Diferenciable en x = a: y = f'(x) existen en x = a. (= derivable)
→ (pendiente a la izquierda) = (pendiente a la derecha)
→ y = f(x) es una curva suave en x = a.
Cómo averiguarlo:
1. Demuestre que f(x) es continua en x = a.
(límite por la izquierda) = (límite por la derecha) = f(a)
2. (derivada por la izquierda) = (derivada por la derecha)
Ejemplo
f(x) = {x2 + 2 (x < 1)
-x2 + 4x (x ≥ 1)
Determina si f(x) es diferenciable en x = 1.
Solución -x2 + 4x (x ≥ 1)
Determina si f(x) es diferenciable en x = 1.
limx → 1-f(x) - [1]
= limx → 1-(x2 + 2)
= (1-)2 + 2
= 12 + 2
= 1 + 2
= 3
limx → 1+f(x)
= limx → 1+(-x2 + 4x)
= -(1+)2 + 4⋅(1+)
= -12 + 4⋅1
= -1 + 4
= 3
f(1) = -12 + 4⋅1
= -1 + 4
= 3
limx → 1-f(x) = limx → 1+f(x) = f(1)
∴ f(x) es continua en x = 1.
limx → 1-f'(x) - [2]
= limx → 1-(2x1 + 0)
= limx → 1-2x
= 2⋅(1-)
= 2⋅1
= 2
limx → 1+f'(x)
= limx → 1+(-2x1 + 4)
= limx → 1+(-2x + 4)
= -2⋅(1+) + 4
= -2⋅1 + 4
= -2 + 4
= 2
limx → 1-f'(x) = limx → 1+f'(x)
∴ f(x) es diferenciable en x = 1.
= limx → 1-(x2 + 2)
= (1-)2 + 2
= 12 + 2
= 1 + 2
= 3
limx → 1+f(x)
= limx → 1+(-x2 + 4x)
= -(1+)2 + 4⋅(1+)
= -12 + 4⋅1
= -1 + 4
= 3
f(1) = -12 + 4⋅1
= -1 + 4
= 3
limx → 1-f(x) = limx → 1+f(x) = f(1)
∴ f(x) es continua en x = 1.
limx → 1-f'(x) - [2]
= limx → 1-(2x1 + 0)
= limx → 1-2x
= 2⋅(1-)
= 2⋅1
= 2
limx → 1+f'(x)
= limx → 1+(-2x1 + 4)
= limx → 1+(-2x + 4)
= -2⋅(1+) + 4
= -2⋅1 + 4
= -2 + 4
= 2
limx → 1-f'(x) = limx → 1+f'(x)
∴ f(x) es diferenciable en x = 1.
Gráfico
y = f(x) es diferenciable en x = 1.
→ y = f(x) es una curva suave en x = 1.
→ y = f(x) es una curva suave en x = 1.
[1]
Primero demuestre que f(x) es continua en x = 1.
(límite por la izquierda) = (límite por la derecha) = f(1)
(límite por la izquierda) = (límite por la derecha) = f(1)
[2]
Demuestre que (derivada por la izquierda) = (derivada por la derecha).
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Ejemplo
f(x) = |x|
Determina si f(x) es diferenciable en x = 0.
Solución Determina si f(x) es diferenciable en x = 0.
f(x) = {-x (x < 0)
x (x ≥ 0) - [1]
limx → 0-f(x)
= limx → 0-(-x)
= -(0-)
= -0
= 0
limx → 0+f(x)
= limx → 0+x
= 0+
= 0
f(0) = 0
limx → 0-f(x) = limx → 0+f(x) = f(0)
∴ f(x) es continua en x = 0.
limx → 0-f'(x)
= limx → 0-(-1)
= -1
limx → 0+f'(x)
= limx → 0+1
= 1
limx → 0-f'(x) ≠ limx → 0+f'(x)
∴ f(x) no es diferenciable en x = 0.
x (x ≥ 0) - [1]
limx → 0-f(x)
= limx → 0-(-x)
= -(0-)
= -0
= 0
limx → 0+f(x)
= limx → 0+x
= 0+
= 0
f(0) = 0
limx → 0-f(x) = limx → 0+f(x) = f(0)
∴ f(x) es continua en x = 0.
limx → 0-f'(x)
= limx → 0-(-1)
= -1
limx → 0+f'(x)
= limx → 0+1
= 1
limx → 0-f'(x) ≠ limx → 0+f'(x)
∴ f(x) no es diferenciable en x = 0.
Gráfico
y = f(x) no es diferenciable en x = 0.
→ y = f(x) no es una curva suave en x = 0.
→ y = f(x) no es una curva suave en x = 0.
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Función Derivada
Definición
f'(x) = limh → 0f(x + h) - f(x)x
Una función derivada y = f'(x) muestrala pendiente de y = f(x) para cada x.
Cómo Escribir
f'(x), y', dydx, ddxf(x)
Estas son las formas de escribir la función derivada. Derivada de una Constante
Fórmula
[C]' = 0
La gráfica de y = C es una línea horizontal.→ (pendiente) = 0
→ y' = 0
→ [C]' = 0
Ecuación Lineal (Dos Variables)
Derivada de mx
Fórmula
Derivada de a⋅f(x) + b⋅g(x)
Propiedad
y = af(x) + bg(x)
→ y' = af'(x) + bg'(x)
→ y' = af'(x) + bg'(x)
Derivada de xn
Fórmula
[xn]' = nxn - 1
n: Número real Ejemplo
y = x3
y' = ?
Solución y' = ?
y = x3
y' = 3x2
y' = 3x2
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Ejemplo
f(x) = 2x7 - 5x + 3
f'(x) = ?
Solución f'(x) = ?
f(x) = 2x7 - 5x + 3
f'(x) = 2⋅7x6 - 5 + 0
= 14x6 - 5
f'(x) = 2⋅7x6 - 5 + 0
= 14x6 - 5
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Ejemplo
y = 6x6 - 3x3 + 2x2 - 1x3
y' = ?
Solución y' = ?
y = 6x6 - 3x3 + 2x2 - 1x3
= 6x3 - 3 + 2x-1 - x-3 - [1]
y' = 6⋅3x2 - 0 + 2⋅-1x-2 - (-3)x-4
= 18x2 - 2x2 + 3x4
= 6x3 - 3 + 2x-1 - x-3 - [1]
y' = 6⋅3x2 - 0 + 2⋅-1x-2 - (-3)x-4
= 18x2 - 2x2 + 3x4
Cerrar
Ejemplo
Ejemplo
y = 14√x3
y' = ?
Solución y' = ?
y = 14√x3
= 1x34
= x-34
y' = -34x-34 - 1
= -34x34 + 1
= -34⋅x⋅x34
= -34x⋅4√x3
= 1x34
= x-34
y' = -34x-34 - 1
= -34x34 + 1
= -34⋅x⋅x34
= -34x⋅4√x3
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Ejemplo
Derivada de f(x)g(x)
Fórmula
[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Ejemplo
y = (2x3 - 5)(4x2 + x)
y' = ?
Solución y' = ?
y = (2x3 - 5)(4x2 + x)
y' = (2⋅3x2 - 0)(4x2 + x) + (2x3 - 5)(4⋅2x1 + 1)
= 6x2(4x2 + x) + (2x3 - 5)(8x + 1)
= 24x4 + 6x3 + 16x4 + 2x3 - 40x - 5 - [1]
= 40x4 + 8x3 - 40x - 5
y' = (2⋅3x2 - 0)(4x2 + x) + (2x3 - 5)(4⋅2x1 + 1)
= 6x2(4x2 + x) + (2x3 - 5)(8x + 1)
= 24x4 + 6x3 + 16x4 + 2x3 - 40x - 5 - [1]
= 40x4 + 8x3 - 40x - 5
[1]
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Ejemplo
f(x) = (x5 - 2x)(7x2 + 3)
f(1) = ?
Solución f(1) = ?
y = (x5 - 2x)(7x2 + 3)
y' = (5x4 - 2)(7x2 + 3) + (x5 - 2x)(7⋅2x1 + 0)
= (5x4 - 2)(7x2 + 3) + (x5 - 2x)⋅14x
f'(1) = (5⋅14 - 2)(7⋅12 + 3) + (15 - 2⋅1)⋅14⋅1
= (5⋅1 - 2)(7⋅1 + 3) + (1 - 2)⋅14
= (5 - 2)(7 + 3) - 1⋅14
= 3⋅10 - 14
= 30 - 14
= 16
y' = (5x4 - 2)(7x2 + 3) + (x5 - 2x)(7⋅2x1 + 0)
= (5x4 - 2)(7x2 + 3) + (x5 - 2x)⋅14x
f'(1) = (5⋅14 - 2)(7⋅12 + 3) + (15 - 2⋅1)⋅14⋅1
= (5⋅1 - 2)(7⋅1 + 3) + (1 - 2)⋅14
= (5 - 2)(7 + 3) - 1⋅14
= 3⋅10 - 14
= 30 - 14
= 16
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Derivada de 1g(x)
Fórmula
(1g(x))' = -g'(x)(g(x))2
Ejemplo
y = 1x3 + 2x
y' = ?
Solución y' = ?
y = 1x3 + 2x
y' = -3x2 + 2(x3 + 2x)2
y' = -3x2 + 2(x3 + 2x)2
Cerrar
y = 1x3 + 2x
= (x3 + 2x)-1 - [1]
y' = -1⋅(x3 + 2x)-2⋅(3x2 + 2) - [2]
= -3x2 + 2(x3 + 2x)2
= (x3 + 2x)-1 - [1]
y' = -1⋅(x3 + 2x)-2⋅(3x2 + 2) - [2]
= -3x2 + 2(x3 + 2x)2
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Derivada de f(x)g(x)
Fórmula
(f(x)g(x))' = -f'(x)g(x) - f(x)g'(x)(g(x))2
Ejemplo
y = 4xx2 - 3
y' = ?
Solución y' = ?
y = 4xx2 - 3
y' = -4⋅(x2 - 3) - 4x⋅(2x1 - 0)(x2 - 3)2
= -4⋅(x2 - 3) - 4x⋅2x(x2 - 3)2
= -4x2 - 12 - 8x2(x2 - 3)2
= --4x2 - 12(x2 - 3)2
= 4x2 + 12(x2 - 3)2
y' = -4⋅(x2 - 3) - 4x⋅(2x1 - 0)(x2 - 3)2
= -4⋅(x2 - 3) - 4x⋅2x(x2 - 3)2
= -4x2 - 12 - 8x2(x2 - 3)2
= --4x2 - 12(x2 - 3)2
= 4x2 + 12(x2 - 3)2
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Derivada de g(f(x))
Fórmula
[g(f(x))]' = g'(f(x))⋅f'(x)
1. Piensa f(x) como un todoy derivar g(f(x)). → g'(f(x))
2. Derivar f(x). → f'(x)
Ejemplo
y = (2x2 - 1)8
y' = ?
Solución y' = ?
y = (2x2 - 1)8
y' = 8⋅(2x2 - 1)7⋅(2⋅2x1 - 0)
= 8(2x2 - 1)7⋅4x
= 32x(2x2 - 1)7
y' = 8⋅(2x2 - 1)7⋅(2⋅2x1 - 0)
= 8(2x2 - 1)7⋅4x
= 32x(2x2 - 1)7
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Derivada de f(x, y) = 0
Función Implícita
f(x, y) = 0
Una función implícita es una funciónque no se puede cambiar a [y = ...] o [x = ...].
(= x e y están mezclados.)
Fórmula
f(x) → f'(x)
g(y) → g'(y)y'
Al derivar el término y g(y),g(y) → g'(y)y'
primero derivar g(y), g'(y),
entonces escribe y'.
y' = dy/dx
Derivada de g(f(x))
Ejemplo
x2 + y2 = 1
dydx = ?
Solución dydx = ?
x2 + y2 = 1
2x1 + 2y1y' = 0
2x + 2yy' = 0
x + yy' = 0
yy' = -x
y' = -xy
2x1 + 2y1y' = 0
2x + 2yy' = 0
x + yy' = 0
yy' = -x
y' = -xy
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Ejemplo
x3 + xy2 - 2y3 + 2 = 0
dydx en (1, 1)?
Solución dydx en (1, 1)?
x3 + xy2 - 2y3 + 2 = 0
3x2 + 1⋅y2 + x⋅2y1y' - 2⋅3y2y' + 0 = 0 - [1]
3x2 + y2 + 2xyy' - 6y2y' = 0
2xyy' - 6y2y' = -3x2 - y2
y'(2xy - 6y2) = -3x2 - y2
y' = -3x2 - y22xy - 6y2
[y'](x, y) = (1, 1) = -3⋅12 - 122⋅1⋅1 - 6⋅12
= -3⋅1 - 12 - 6⋅1
= -3 - 12 - 6
= -4-4
= 1
3x2 + 1⋅y2 + x⋅2y1y' - 2⋅3y2y' + 0 = 0 - [1]
3x2 + y2 + 2xyy' - 6y2y' = 0
2xyy' - 6y2y' = -3x2 - y2
y'(2xy - 6y2) = -3x2 - y2
y' = -3x2 - y22xy - 6y2
[y'](x, y) = (1, 1) = -3⋅12 - 122⋅1⋅1 - 6⋅12
= -3⋅1 - 12 - 6⋅1
= -3 - 12 - 6
= -4-4
= 1
[1]
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Derivada de una Función Paramétrica
Fórmula
dydx = dydt dxdt
Ejemplo
x = t3 - 2t
y = t2 + 1
dydx en t = 1?
Solución y = t2 + 1
dydx en t = 1?
x = t3 - 2t
y = t2 + 1
dxdt = 3t2 - 2
dydt = 2t1 + 0
= 2t
dydx = dydt dxdt
= 2t3t2 - 2
[dydx]t = 1 = 2⋅13⋅12 - 2
= 23⋅1 - 2
= 23 - 2
= 21
= 2
y = t2 + 1
dxdt = 3t2 - 2
dydt = 2t1 + 0
= 2t
dydx = dydt dxdt
= 2t3t2 - 2
[dydx]t = 1 = 2⋅13⋅12 - 2
= 23⋅1 - 2
= 23 - 2
= 21
= 2
Cerrar
Derivada de una Función Inversa
Definición
dxdy
Cuando se encuentra la función inversa,x e y se intercambian.
Entonces, la derivada de una función inversa es dx/dy.
Fórmula
dxdy = 1 dydx
Ejemplo
y = x5 - x + 8
dxdy = ?
Solución dxdy = ?
y = x5 - x + 8
dydx = 5x4 - 1 + 0
= 5x4 - 1
dxdy = 15x4 - 1
dydx = 5x4 - 1 + 0
= 5x4 - 1
dxdy = 15x4 - 1
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Ejemplo
y = x3 + 2
dxdy en y = 3?
Solución dxdy en y = 3?
y = x3 + 2
dydx = 3x2 + 0
= 3x2
dxdy = 13x2
3 = x3 + 2 - [1]
1 = x3
x3 = 1
x = 1
dxdy = 13⋅12
= 13
dydx = 3x2 + 0
= 3x2
dxdy = 13x2
3 = x3 + 2 - [1]
1 = x3
x3 = 1
x = 1
dxdy = 13⋅12
= 13
[1]
El objetivo es encontrar dx/dy en y = 3.
dx/dy = 1/3x2
→ Encuentre el valor de x cuando y = 3.
→ Pon y = 3 en y = x3 + 2.
dx/dy = 1/3x2
→ Encuentre el valor de x cuando y = 3.
→ Pon y = 3 en y = x3 + 2.
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Segunda Derivada
Cómo Escribir
f''(x), y'', d2ydx2, d2dx2f(x)
Estas son las formas de escribir la segunda derivada.Para encontrar la segunda derivada,
derivar f(x) dos veces.
Punto de Inflexión
Ejemplo
f(x) = x5 - 7x2 - 8x + 1
f''(x) = ?
Solución f''(x) = ?
f(x) = x5 - 7x2 - 8x + 1
f'(x) = 5x4 - 7⋅2x1 - 8 + 0
= 5x4 - 14x - 8
f''(x) = 5⋅4x3 - 14 - 0
= 20x3 - 14
f'(x) = 5x4 - 7⋅2x1 - 8 + 0
= 5x4 - 14x - 8
f''(x) = 5⋅4x3 - 14 - 0
= 20x3 - 14
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