Serie de Taylor
Vea cómo escribir ex, sen x, cos x en la serie de Taylor.
3 ejemplos y sus soluciones.
Serie de Taylor
Fórmula
f(x) = f(a)0!(x - a)0 + f'(a)1!(x - a)1 + f''(a)2!(x - a)2 + f'''(a)3!(x - a)3 + ... + f(n)(a)n!(x - a)n + ...
= ∑n = 0∞f(n)(a)n!(x - a)n
Una serie de Taylor es una aproximación de y = f(x) cerca de x = a. = ∑n = 0∞f(n)(a)n!(x - a)n
Es útil porque
puede aproximar el valor de una función no polinomial
(funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.)
cambiándola a una función polinomial.
(Serie de Taylor: Polinomio)
Así es como una calculadora encuentra el valor
de una función no polinomial.
f(n): n-ésima derivada
Fórmula: Serie de Maclaurin
f(x) = f(0)0!x0 + f'(0)1!x1 + f''(0)2!x2 + f'''(0)3!x3 + ... + f(n)(0)n!xn + ...
= ∑n = 0∞f(n)(0)n!xn
Una serie de Maclaurin es el caso especial de una serie de Taylor= ∑n = 0∞f(n)(0)n!xn
cerca de x = 0.
Ejemplo
¿Serie de Taylor de ex cerca de x = 0?
Solución f(x) = ex
f(0) = e0
= 1
f'(x) = ex - [1]
f'(0) = e0
= 1
f''(x) = ex
f''(0) = e0
= 1
f'''(x) = ex
f'''(0) = e0
= 1
...
f(n)(0) = 1
f(x) = 10!x0 + 11!x1 + 12!x2 + 13!x3 + ... + 1n!xn + ...
= ∑n = 0∞1n!xn - [2]
f(0) = e0
= 1
f'(x) = ex - [1]
f'(0) = e0
= 1
f''(x) = ex
f''(0) = e0
= 1
f'''(x) = ex
f'''(0) = e0
= 1
...
f(n)(0) = 1
f(x) = 10!x0 + 11!x1 + 12!x2 + 13!x3 + ... + 1n!xn + ...
= ∑n = 0∞1n!xn - [2]
[2]
Encuentre el n-ésimo término de f(x).
an = [1/n!]xn
→ Escribe la serie de Taylor usando an.
Sigma (Matemática)
an = [1/n!]xn
→ Escribe la serie de Taylor usando an.
Sigma (Matemática)
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Ejemplo
¿Serie de Taylor de sen x cerca de x = 0?
Solución f(x) = sen x
f(0) = 0 - [1]
f'(x) = cos x - [2]
f'(0) = 1
f''(x) = -sen x
f'(0) = -0
= 0
f'''(x) = -cos x
f'(0) = -1
f''''(x) = -(-sen x)
= sen x = f(x)
f''''(0) = 0
...
f(n)(0): 0, 1, 0, -1, ... - [3]
f(x) = 00!x0 + 11!x1 + 02!x2 + (-1)3!x3
+04!x4 + 15!x5 + 06!x6 + (-1)7!x7 + ...
= 11!x1 + (-1)3!x3 + 15!x5 + (-1)7!x7 + ... + (-1)n(2n + 1)!x2n + 1
= ∑n = 0∞(-1)n(2n + 1)!x2n + 1 - [4]
f(0) = 0 - [1]
f'(x) = cos x - [2]
f'(0) = 1
f''(x) = -sen x
f'(0) = -0
= 0
f'''(x) = -cos x
f'(0) = -1
f''''(x) = -(-sen x)
= sen x = f(x)
f''''(0) = 0
...
f(n)(0): 0, 1, 0, -1, ... - [3]
f(x) = 00!x0 + 11!x1 + 02!x2 + (-1)3!x3
+04!x4 + 15!x5 + 06!x6 + (-1)7!x7 + ...
= 11!x1 + (-1)3!x3 + 15!x5 + (-1)7!x7 + ... + (-1)n(2n + 1)!x2n + 1
= ∑n = 0∞(-1)n(2n + 1)!x2n + 1 - [4]
[3]
Patrón de f(n)(0): 0, 1, 0, -1
[4]
Encuentre el n-ésimo término de f(x).
an = [(-1)n/(2n + 1)!]x2n + 1
→ Escribe la serie de Taylor usando an.
an = [(-1)n/(2n + 1)!]x2n + 1
→ Escribe la serie de Taylor usando an.
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Ejemplo
¿Serie de Taylor de cos x cerca de x = 0?
Solución f(x) = cos x
f(0) = 1
f'(x) = -sen x
f'(0) = -0
= 0
f''(x) = -cos x
f'(0) = -1
f'''(x) = -(-sen x)
= sen x
f'''(0) = 0
f''''(x) = cos x = f(x)
f''''(0) = 1
...
f(n)(0): 1, 0, -1, 0 ...
f(x) = 10!x0 + 01!x1 + (-1)2!x2 + 03!x3
+14!x4 + 05!x5 + (-1)6!x6 + 07!x7 + ...
= 10!x0 + (-1)2!x2 + 14!x4 + (-1)6!x6 + ... + (-1)n2n!x2n
= ∑n = 0∞(-1)n2n!x2n - [1]
f(0) = 1
f'(x) = -sen x
f'(0) = -0
= 0
f''(x) = -cos x
f'(0) = -1
f'''(x) = -(-sen x)
= sen x
f'''(0) = 0
f''''(x) = cos x = f(x)
f''''(0) = 1
...
f(n)(0): 1, 0, -1, 0 ...
f(x) = 10!x0 + 01!x1 + (-1)2!x2 + 03!x3
+14!x4 + 05!x5 + (-1)6!x6 + 07!x7 + ...
= 10!x0 + (-1)2!x2 + 14!x4 + (-1)6!x6 + ... + (-1)n2n!x2n
= ∑n = 0∞(-1)n2n!x2n - [1]
[1]
Encuentre el n-ésimo término de f(x).
an = [(-1)n/2n!]x2n
→ Escribe la serie de Taylor usando an.
an = [(-1)n/2n!]x2n
→ Escribe la serie de Taylor usando an.
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