Sigma (Matemática)
Vea cómo resolver el sigma (∑) de una sucesión
(capítulo de secuencia de la escuela secundaria).
8 ejemplos y sus soluciones.
Sigma: Definición
Definición
∑k = 1nak = a1 + a2 + a3 + ... + an
Sigma, ∑, es una formade escribir la suma de una sucesión (serie).
∑k = 1n ak se lee como
[sumatorio sobre k, desde 1 hasta n, de ak].
Ejemplo
43 + 53 + 63 + ... + 193
→ Notación sigma
Solución → Notación sigma
43 + 53 + 63 + ... + 193
(dada) = ∑k = 419k3
(dada) = ∑k = 419k3
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Ejemplo
∑k = 1991k(k + 1)
Solución ∑k = 1991k(k + 1)
= ∑k = 1991(k + 1) - k(1k - 1k + 1) - [1]
= ∑k = 199(1k - 1k + 1)
= (11 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + ... + (199 - 1100)
= 11 - 1100 - [2]
= 100100 - 1100
= 99100
= ∑k = 1991(k + 1) - k(1k - 1k + 1) - [1]
= ∑k = 199(1k - 1k + 1)
= (11 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + ... + (199 - 1100)
= 11 - 1100 - [2]
= 100100 - 1100
= 99100
[2]
Cancelar -1/2 y 1/2.
Cancelar -1/3 y 1/3.
Cancelar -1/4 y 1/4.
...
Cancelar -1/99 y 1/99.
Entonces quedan 1/1 y -1/100.
Al cancelar así,
los términos restantes se ubican simétricamente.
(En este caso,
quedan el primer y el último término.)
Cancelar -1/3 y 1/3.
Cancelar -1/4 y 1/4.
...
Cancelar -1/99 y 1/99.
Entonces quedan 1/1 y -1/100.
Al cancelar así,
los términos restantes se ubican simétricamente.
(En este caso,
quedan el primer y el último término.)
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Sigma: Propiedad
Propiedad
∑k = 1nc = cn
∑k = 1ncak = c∑k = 1nak
∑k = 1n(ak ± bk) = ∑k = 1nak ± ∑k = 1nbk
∑k = 1ncak = c∑k = 1nak
∑k = 1n(ak ± bk) = ∑k = 1nak ± ∑k = 1nbk
Ejemplo
∑k = 1nak = 7, ∑k = 1nbk = -3
∑k = 1n(5ak + 2bk) = ?
Solución ∑k = 1n(5ak + 2bk) = ?
∑k = 1nak = 7
∑k = 1nbk = -3
∑k = 1n(5ak + 2bk)
= ∑k = 1n5ak + ∑k = 1n2bk
= 5⋅∑k = 1nak + 2⋅∑k = 1nbk
= 5⋅7 + 2⋅-3
= 35 - 6
= 29
∑k = 1nbk = -3
∑k = 1n(5ak + 2bk)
= ∑k = 1n5ak + ∑k = 1n2bk
= 5⋅∑k = 1nak + 2⋅∑k = 1nbk
= 5⋅7 + 2⋅-3
= 35 - 6
= 29
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Ejemplo
∑k = 1nak = 5
∑k = 1n(2ak - 7) = ?
Solución ∑k = 1n(2ak - 7) = ?
∑k = 1nak = 5
∑k = 1n(2ak - 7)
= ∑k = 1n2ak - ∑k = 1n7
= 2⋅∑k = 1nak - 7n - [1]
= 2⋅5 - 7n
= 10 - 7n
= -7n + 10
∑k = 1n(2ak - 7)
= ∑k = 1n2ak - ∑k = 1n7
= 2⋅∑k = 1nak - 7n - [1]
= 2⋅5 - 7n
= 10 - 7n
= -7n + 10
[1]
El número en el sigma, 7, no tiene n.
Entonces -∑7 = -7n.
Entonces -∑7 = -7n.
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Ejemplo
∑k = 1nak = n2 + 1
∑k = 1nnak = ?
Solución ∑k = 1nnak = ?
∑k = 1nak = n2 + 1
∑k = 1nnak
= n⋅ ∑k = 1nak - [1]
= n⋅(n2 + 1)
= n3 + n
∑k = 1nnak
= n⋅ ∑k = 1nak - [1]
= n⋅(n2 + 1)
= n3 + n
[1]
La variable de sigma es k. (no n)
(k va de 1 a n.)
Entonces piensa en n como una constante.
(k va de 1 a n.)
Entonces piensa en n como una constante.
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Sigma k
Fórmula
∑k = 1nk = n(n + 1)2
Ejemplo
∑k = 1n(4k - 3)
Solución ∑k = 1n(4k - 3)
= ∑k = 1n4k - ∑k = 1n3
= 4⋅∑k = 1nk - ∑k = 1n3
= 4⋅n(n + 1)2 - 3n
= 2n(n + 1) - 3n
= 2n2 + 2n - 3n
= 2n2 - 3n
= ∑k = 1n4k - ∑k = 1n3
= 4⋅∑k = 1nk - ∑k = 1n3
= 4⋅n(n + 1)2 - 3n
= 2n(n + 1) - 3n
= 2n2 + 2n - 3n
= 2n2 - 3n
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Sigma k2
Fórmula
∑k = 1nk2 = n(n + 1)(2n + 1)6
Ejemplo
∑k = 1nk(3k + 1)
Solución ∑k = 1nk(3k + 1)
= ∑k = 1n(3k2 + k)
= ∑k = 1n3k2 + ∑k = 1nk
= 3⋅∑k = 1nk2 + ∑k = 1nk
= 3⋅n(n + 1)(2n + 1)6 + n(n + 1)2
= n(n + 1)(2n + 1)2 + n(n + 1)⋅12
= n(n + 1)(2n + 1 + 1)2 - [1]
= n(n + 1)(2n + 2)2
= n(n + 1)2(n + 1)2
= n(n + 1)(n + 1)
= n(n + 1)2
= ∑k = 1n(3k2 + k)
= ∑k = 1n3k2 + ∑k = 1nk
= 3⋅∑k = 1nk2 + ∑k = 1nk
= 3⋅n(n + 1)(2n + 1)6 + n(n + 1)2
= n(n + 1)(2n + 1)2 + n(n + 1)⋅12
= n(n + 1)(2n + 1 + 1)2 - [1]
= n(n + 1)(2n + 2)2
= n(n + 1)2(n + 1)2
= n(n + 1)(n + 1)
= n(n + 1)2
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Sigma k3
Fórmula
∑k = 1nk3 = (n(n + 1)2)2
Ejemplo
∑k = 1nk(k2 + n)
Solución ∑k = 1nk(k2 + n)
= ∑k = 1n(k3 + nk)
= ∑k = 1nk3 + ∑k = 1nnk
= ∑k = 1nk3 + n⋅∑k = 1nk
= (n(n + 1)2)2 + n⋅n(n + 1)2
= n2(n + 1)222 + n2(n + 1)2
= n2(n + 1)(n + 1)4 + n2(n + 1)⋅24
= n2(n + 1)(n + 1 + 2)4 - [1]
= n2(n + 1)(n + 3)4
= ∑k = 1n(k3 + nk)
= ∑k = 1nk3 + ∑k = 1nnk
= ∑k = 1nk3 + n⋅∑k = 1nk
= (n(n + 1)2)2 + n⋅n(n + 1)2
= n2(n + 1)222 + n2(n + 1)2
= n2(n + 1)(n + 1)4 + n2(n + 1)⋅24
= n2(n + 1)(n + 1 + 2)4 - [1]
= n2(n + 1)(n + 3)4
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