Sucesión (Matemática)
Vea cómo encontrar una sucesión y una serie
(aritmética/geométrica/otra).
23 ejemplos y sus soluciones.
Sucesión Aritmética
Definición
cuya diferencias de los términos adyacentes
son las mismas.
Entonces, si agrega +d,
obtiene el siguiente término.
Fórmula
an = a + (n - 1)d
an: Enésimo términoa: Primer término, a1
d: Diferencia común
Ejemplo
1, 4, 7, 10, 13, ...
an = ?
Solución an = ?
an = 1 + (n - 1)⋅3
= 1 + 3n - 3
= 3n - 2
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Ejemplo
-2, 5, 12, 19, ...
ak = 551, k = ?
Solución ak = 551, k = ?
ak = -2 + (k - 1)⋅7
= -2 + 7k - 7
= 7k - 9 = 551 - [1]
7k = 560
k = 80
[1]
ak = 7k - 9
ak = 551
ak = 551
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Ejemplo
Sucesión aritmética: a8 = 5, a12 = 13
an = ?
Solución an = ?
a8 = a + 7d = 5
a12 = a + 11d = 13
a + 11d = 13
-a + 7d = 5
4d = 8 - [1]
d = 2
a + 7⋅2 = 5 - [2]
a + 14 = 5
a = -9
an = -9 + (n - 1)⋅2
= -9 + 2n - 2
= 2n - 11
a12 = a + 11d = 13
a + 11d = 13
-a + 7d = 5
4d = 8 - [1]
d = 2
a + 7⋅2 = 5 - [2]
a + 14 = 5
a = -9
an = -9 + (n - 1)⋅2
= -9 + 2n - 2
= 2n - 11
[2]
d = 2 → a + 7d = 5
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Interpolar Medios Aritméticos
Definición
Medios Aritméticos:
los términos intermedios que forman una sucesión aritmética
con el primero y el último término.
los términos intermedios que forman una sucesión aritmética
con el primero y el último término.
Ejemplo
Encuentra las tres medias aritméticas entre 7 y 23.
Solución =
7 + 4d
7 + 4d = 23
4d = 16
d = 4
7 + 4 = 11
11 + 4 = 15
15 + 4 = 19 - [2]
11, 15, 19
[1]
Escribe 7 □ □ □ 23.
(□ □ □: tres medias aritméticas)
Esta es una sucesión aritmética.
Entonces escribe la diferencia común d
entre los términos.
(□ □ □: tres medias aritméticas)
Esta es una sucesión aritmética.
Entonces escribe la diferencia común d
entre los términos.
[2]
Para encontrar los tres □,
+4 desde el primer término 7.
+4 desde el primer término 7.
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Serie Aritmética
Fórmula
Sn = n2[2a + (n - 1)d]
= n2[a + an]
Sn: a1 + a2 + a3 + ... + an= n2[a + an]
a: Primer término, a1
d: Diferencia común
Serie: suma parcial de una sucesión, Sn
Ejemplo
Sucesión aritmética: a = 3, d = 5
S20 = ?
Solución S20 = ?
a = 3, d = 5, n = 20
S20 = 202(2⋅3 + 19⋅5)
= 10⋅(6 + 95)
= 10⋅101
= 1010
S20 = 202(2⋅3 + 19⋅5)
= 10⋅(6 + 95)
= 10⋅101
= 1010
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Ejemplo
-1 + 3 + 7 + 11 + ... + 123
Solución an = -1 + (n - 1)⋅4
= -1 + 4n - 4
= 4n - 5
4n - 5 = 123 - [1]
4n = 128
n = 32
S32 = 322(2⋅(-1) + 31⋅4)
= 16⋅(-2 + 124)
= 16⋅122
= 1952
[1]
an = 4n - 5
an = 123
an = 123
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Ejemplo
Sn = n2 + 2n
an = ?
Solución an = ?
1) n = 2, 3, 4, ...
an = Sn - Sn - 1 - [1]
= [n2 + 2n] - [(n - 1)2 + 2(n - 1)]
= n2 + 2n - [n2 - 2n + 1 + 2n - 2]
= n2 + 2n - [n2 - 1]
= n2 + 2n - n2 + 1
= 2n + 1
an = 2n + 1 (n = 2, 3, 4, ...)
2) n = 1
S1 = 12 + 2⋅1
= 1 + 2
= 3
a1 = 2⋅1 + 1 - [2]
= 2 + 1
= 3
S1 = a1 = 3
∴ an = 2n + 1 (n = 1) - [3]
∴ an = 2n + 1 (n = 1, 2, 3, 4, ...)
an = Sn - Sn - 1 - [1]
= [n2 + 2n] - [(n - 1)2 + 2(n - 1)]
= n2 + 2n - [n2 - 2n + 1 + 2n - 2]
= n2 + 2n - [n2 - 1]
= n2 + 2n - n2 + 1
= 2n + 1
an = 2n + 1 (n = 2, 3, 4, ...)
2) n = 1
S1 = 12 + 2⋅1
= 1 + 2
= 3
a1 = 2⋅1 + 1 - [2]
= 2 + 1
= 3
S1 = a1 = 3
∴ an = 2n + 1 (n = 1) - [3]
∴ an = 2n + 1 (n = 1, 2, 3, 4, ...)
[1]
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 1 + an
Sn - 1 = a1 + a2 + a3 + ... + an - 1
Sn - Sn - 1 = an
Sn - 1 = a1 + a2 + a3 + ... + an - 1
Sn - Sn - 1 = an
[2]
a1 de an = 2n + 1 (encontrado en el caso 1)
[3]
Si S1 ≠ a1,
el a1 real es S1.
(no a1 de an encontrado en el caso 1)
el a1 real es S1.
(no a1 de an encontrado en el caso 1)
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Sigma (Matemática)
Definición
∑k = 1nak = a1 + a2 + a3 + ... + an
Sigma, ∑, es una formade escribir la suma de una sucesión (serie).
∑k = 1n ak se lee como
[sumatorio sobre k, desde 1 hasta n, de ak].
Sigma (Matemática)
Sucesión Geométrica
Definición
cuya razón de los términos adyacentes
son las mismas.
Entonces, si multiplica ×r,
obtiene el siguiente término.
Fórmula
an = arn - 1
an: Enésimo términoa: Primer término, a1
r: Razón común
Ejemplo
2, 6, 18, 54, 162, ...
an = ?
Solución an = ?
an = 2⋅3n - 1
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Ejemplo
320, 160, 80, 40, ...
ak = 58, k = ?
Solución ak = 58, k = ?
ak = 320⋅(12)k - 1
= 26⋅5⋅2-k + 1
= 2-k + 7⋅5 = 58- [1]
2-k + 7⋅5 = 5⋅2-3
2-k + 7 = 2-3
-k + 7 = -3
k - 7 = 3
k = 10
[1]
ak = 2-k + 7⋅5
ak = 5/8
ak = 5/8
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Ejemplo
Sucesión geométrica: a2 = -6, a5 = 48
an = ?
Solución an = ?
a2 = ar = -6
a5 = ar4 = 48
ar4ar = 48-6
r3 = -8
r = -2
a⋅(-2) = -6 - [1]
a = 3
an = 3⋅(-2)n - 1
a5 = ar4 = 48
ar4ar = 48-6
r3 = -8
r = -2
a⋅(-2) = -6 - [1]
a = 3
an = 3⋅(-2)n - 1
[1]
r = -2 → ar = -6
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Interpolar Medios Geométricos
Definición
Medios Geométricos:
los términos intermedios que forman una sucesión geométrica
con el primero y el último término.
los términos intermedios que forman una sucesión geométrica
con el primero y el último término.
Ejemplo
Encuentra las cuatro medias geométricas entre 6 y 192.
Solución =
6⋅r5
6r5 = 192
r5 = 32
r = 2 - [2]
6⋅2 = 12
12⋅2 = 24
24⋅2 = 48
48⋅2 = 96 - [3]
12, 24, 48, 96
[1]
Escribe 6 □ □ □ □ 192.
(□ □ □ □: cuatro medias geométricas)
Esta es una sucesión geométrica.
Entonces escribe la razón común r
entre los términos.
(□ □ □ □: cuatro medias geométricas)
Esta es una sucesión geométrica.
Entonces escribe la razón común r
entre los términos.
[3]
Para encontrar los cuatro □,
×2 desde el primer término 6.
×2 desde el primer término 6.
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Ejemplo
Encuentra las tres medias geométricas entre 5 y 405.
Solución =
5⋅r4
5r4 = 405
r4 = 81
r = ±3
1) r = 3
5⋅3 = 15
15⋅3 = 45
45⋅3 = 135
2) r = -3
5⋅(-3) = -15
-15⋅(-3) = 45
45⋅(-3) = -135
±15, 45, ±135
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Serie Geométrica
Fórmula
Sn = a(rn - 1)r - 1
= a(1 - rn)1 - r
Sn: a1 + a2 + a3 + ... + an= a(1 - rn)1 - r
a: Primer término, a1
r: Razón común
Ejemplo
Serie geométrica: a = 3, r = 2
S5 = ?
Solución S5 = ?
a = 3, r = 2, n = 7
S7 = 3(27 - 1)2 - 1
= 3⋅(128 - 1)
= 3⋅127
= 381
S7 = 3(27 - 1)2 - 1
= 3⋅(128 - 1)
= 3⋅127
= 381
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Ejemplo
Serie geométrica: a1 = 4, a3 = 36
S5 = ?
Solución S5 = ?
a1 = a = 4
a3 = 4r2 = 36
r2 = 9
r = ±3
1) r = 3
S5 = 4(35 - 1)3 - 1
= 4(243 - 1)2
= 2⋅242
= 484
2) r = -3
S5 = 4((-3)5 - 1)-3 - 1
= 4(-243 - 1)-4
= -(-244)
= 244
S5 = 484, 244
a3 = 4r2 = 36
r2 = 9
r = ±3
1) r = 3
S5 = 4(35 - 1)3 - 1
= 4(243 - 1)2
= 2⋅242
= 484
2) r = -3
S5 = 4((-3)5 - 1)-3 - 1
= 4(-243 - 1)-4
= -(-244)
= 244
S5 = 484, 244
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Ejemplo
∑k = 14 5⋅(23)k
Solución ∑k = 14 5⋅(23)k - [1]
a1 = 5⋅(23)1 - [2]
= 103
r = 23 - [3]
S4 = 103(1 - (23)4)1 - 23
= 103(1 - 1681)13
= 10⋅(8181 - 1681)
= 10⋅6581
= 65081
a1 = 5⋅(23)1 - [2]
= 103
r = 23 - [3]
S4 = 103(1 - (23)4)1 - 23
= 103(1 - 1681)13
= 10⋅(8181 - 1681)
= 10⋅6581
= 65081
[2]
ak = 5⋅(2/3)k
→ a1 = 5⋅(2/3)1
→ a1 = 5⋅(2/3)1
[3]
ak = 5⋅(2/3)k
→ r = (2/3)
→ r = (2/3)
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Serie Geométrica Infinita
Sucesión Geométrica Infinita
Fórmula
S = a1 - r (-1 < r < 1)
S: a1 + a2 + a3 + ...a: Primer término, a1
r: Razón común
Ejemplo
1 + 12 + 14 + 18 + ...
Solución Ejemplo
10 - 203 + 409 - 8027 + ...
Solución S = 101 - (-23)
= 101 + 23
= 1033 + 23
= 10153
= 10⋅31⋅5
= 2⋅3
= 6
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Ejemplo
∑n = 0∞ 8⋅(17)n
Solución ∑n = 0∞ 8⋅(17)n - [1]
a1 = 8⋅(17)0 - [2]
= 8⋅1
= 8
r = 17 - [3]
S = 81 - 17
= 877 - 17
= 8167
= 4137
= 4⋅71⋅3
= 283
a1 = 8⋅(17)0 - [2]
= 8⋅1
= 8
r = 17 - [3]
S = 81 - 17
= 877 - 17
= 8167
= 4137
= 4⋅71⋅3
= 283
[2]
n: 0, 1, 2, ...
→ an = 8⋅(1/7)n - 1
→ a1 = 8⋅(1/7)0
→ an = 8⋅(1/7)n - 1
→ a1 = 8⋅(1/7)0
[3]
an = 8⋅(1/7)n - 1
→ r = (1/7)
→ r = (1/7)
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Decimal Periódico
Definición
0.123 = 0.1232323...
Un decimal periódico es un decimalque tiene una parte repetida.
Los números debajo de la barra son la parte repetida
Un decimal periódico es un número racional.
Entonces puedes cambiar un decimal periódico
a una fracción.
Ejemplo
0.123 → ¿Fracción?
Solución 0.123 = 0.1232323...
100⋅0.123 = 12.3232323... - [1]
-0.123 = 0.1232323...
99⋅0.123 = 12.2
0.123 = 12.299
= 122990
= 61495
100⋅0.123 = 12.3232323... - [1]
-0.123 = 0.1232323...
99⋅0.123 = 12.2
0.123 = 12.299
= 122990
= 61495
[1]
0.123 = 0.1232323...
2 dígitos están debajo de la barra.
Entonces ×102 = ×100 a ambos lados.
2 dígitos están debajo de la barra.
Entonces ×102 = ×100 a ambos lados.
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Fórmula Recursiva
Ejemplo
a1 = 4, an + 1 = an + 6
a1 ~ a4 = ?
Solución a1 ~ a4 = ?
a1 = 4
an + 1 = an + 6
a2 = a1 + 6
= 4 + 6
= 10
a3 = a2 + 6
= 10 + 6
= 16
a4 = a3 + 6
= 16 + 6
= 22
4, 10, 16, 22
an + 1 = an + 6
a2 = a1 + 6
= 4 + 6
= 10
a3 = a2 + 6
= 10 + 6
= 16
a4 = a3 + 6
= 16 + 6
= 22
4, 10, 16, 22
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Ejemplo
a1 = -2, an + 1 = an + 3n
a1 ~ a4 = ?
Solución a1 ~ a4 = ?
a1 = -2
an + 1 = an + 3n
a2 = a1 + 3⋅1
= -2 + 3
= 1
a3 = a2 + 3⋅2
= 1 + 6
= 7
a4 = a3 + 3⋅3
= 7 + 9
= 16
-2, 1, 7, 16
an + 1 = an + 3n
a2 = a1 + 3⋅1
= -2 + 3
= 1
a3 = a2 + 3⋅2
= 1 + 6
= 7
a4 = a3 + 3⋅3
= 7 + 9
= 16
-2, 1, 7, 16
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Ejemplo
a1 = 1, a2 = 1, an + 2 = an + an + 1
a1 ~ a7 = ?
Esta secuencia es la sucesión de Fibonacci. a1 ~ a7 = ?
Solución
a1 = 1
a2 = 1
an + 2 = an + an + 1
a3 = a1 + a2
= 1 + 1
= 2
a4 = a2 + a3
= 1 + 2
= 3
a5 = a3 + a4
= 2 + 3
= 5
a6 = a4 + a5
= 3 + 5
= 8
a7 = a5 + a6
= 5 + 8
= 13
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
a2 = 1
an + 2 = an + an + 1
a3 = a1 + a2
= 1 + 1
= 2
a4 = a2 + a3
= 1 + 2
= 3
a5 = a3 + a4
= 2 + 3
= 5
a6 = a4 + a5
= 3 + 5
= 8
a7 = a5 + a6
= 5 + 8
= 13
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
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Inducción Matemática
Definición
1. Demuestre que n = 1 es cierto.
2. Asuma que n = k es cierto.
3. Demuestre que n = k + 1 es cierto.
Una inducción matemática es una2. Asuma que n = k es cierto.
3. Demuestre que n = k + 1 es cierto.
forma de probar el enunciado dado (dado).
1. Demuestre que (dado) es cierto
cuando n = 1.
2. Asuma que (given) es cierto
cuando n = k.
3. Use el (dado) cuando n = k
para demostrar que (dado) es cierto
cuando n = k + 1.
Entonces, al igual que una fórmula recursiva,
(dado) es cierto.
(dado) es cierto cuando n = 1.
→ (dado) es cierto cuando n = 1 + 1 = 2.
→ (dado) es cierto cuando n = 2 + 1 = 3.
...
Ejemplo
Demuestre el enunciado dado.
(n es un número natural)
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)2
Solución (n es un número natural)
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)2
1) n = 1
1 = 1⋅22
= 1 ( o )
2) n = k
Asuma que lo siguiente es cierto.
1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)2
3) n = k + 1
1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1 = k(k + 1)2 + k + 1 - [1]
= k(k + 1)2 + 2(k + 1)2
= (k + 1)(k + 2)2
= (k + 1)((k + 1) + 1)2 ( o )
∴ La afirmación dada es cierto.
1 = 1⋅22
= 1 ( o )
2) n = k
Asuma que lo siguiente es cierto.
1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)2
3) n = k + 1
1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1 = k(k + 1)2 + k + 1 - [1]
= k(k + 1)2 + 2(k + 1)2
= (k + 1)(k + 2)2
= (k + 1)((k + 1) + 1)2 ( o )
∴ La afirmación dada es cierto.
[1]
1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2
+(k + 1) a ambos lados.
Entonces haz el lado derecho
(k + 1)((k + 1) + 1)/2.
+(k + 1) a ambos lados.
Entonces haz el lado derecho
(k + 1)((k + 1) + 1)/2.
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