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Sucesión (Matemática)

Vea cómo encontrar una sucesión y una serie
(aritmética/geométrica/otra).
23 ejemplos y sus soluciones.

Sucesión Aritmética

Definición

Una sucesión aritmética es una sucesión
cuya diferencias de los términos adyacentes
son las mismas.
Entonces, si agrega +d,
obtiene el siguiente término.

Fórmula

an = a + (n - 1)d
an: Enésimo término
a: Primer término, a1
d: Diferencia común

Ejemplo

1, 4, 7, 10, 13, ...
an = ?
Solución

Ejemplo

-2, 5, 12, 19, ...
ak = 551, k = ?
Solución

Ejemplo

Sucesión aritmética: a8 = 5, a12 = 13
an = ?
Solución

Interpolar Medios Aritméticos

Definición

Medios Aritméticos:
los términos intermedios que forman una sucesión aritmética
con el primero y el último término.

Ejemplo

Encuentra las tres medias aritméticas entre 7 y 23.
Solución

Serie Aritmética

Fórmula

Sn = n2[2a + (n - 1)d]
= n2[a + an]
Sn: a1 + a2 + a3 + ... + an
a: Primer término, a1
d: Diferencia común

Serie: suma parcial de una sucesión, Sn

Ejemplo

Sucesión aritmética: a = 3, d = 5
S20 = ?
Solución

Ejemplo

-1 + 3 + 7 + 11 + ... + 123
Solución

Ejemplo

Sn = n2 + 2n
an = ?
Solución

Sigma (Matemática)

Definición

k = 1nak = a1 + a2 + a3 + ... + an
Sigma, ∑, es una forma
de escribir la suma de una sucesión (serie).
k = 1n ak se lee como
[sumatorio sobre k, desde 1 hasta n, de ak].
Sigma (Matemática)

Sucesión Geométrica

Definición

Una sucesión geométrica es una sucesión
cuya razón de los términos adyacentes
son las mismas.
Entonces, si multiplica ×r,
obtiene el siguiente término.

Fórmula

an = arn - 1
an: Enésimo término
a: Primer término, a1
r: Razón común

Ejemplo

2, 6, 18, 54, 162, ...
an = ?
Solución

Ejemplo

320, 160, 80, 40, ...
ak = 58, k = ?
Solución

Ejemplo

Sucesión geométrica: a2 = -6, a5 = 48
an = ?
Solución

Interpolar Medios Geométricos

Definición

Medios Geométricos:
los términos intermedios que forman una sucesión geométrica
con el primero y el último término.

Ejemplo

Encuentra las cuatro medias geométricas entre 6 y 192.
Solución

Ejemplo

Encuentra las tres medias geométricas entre 5 y 405.
Solución

Serie Geométrica

Fórmula

Sn = a(rn - 1)r - 1
= a(1 - rn)1 - r
Sn: a1 + a2 + a3 + ... + an
a: Primer término, a1
r: Razón común

Ejemplo

Serie geométrica: a = 3, r = 2
S5 = ?
Solución

Ejemplo

Serie geométrica: a1 = 4, a3 = 36
S5 = ?
Solución

Ejemplo

k = 14 5⋅(23)k
Solución

Serie Geométrica Infinita

Sucesión Geométrica Infinita

Fórmula

S = a1 - r (-1 < r < 1)
S: a1 + a2 + a3 + ...
a: Primer término, a1
r: Razón común

Ejemplo

1 + 12 + 14 + 18 + ...
Solución

Ejemplo

10 - 203 + 409 - 8027 + ...
Solución

Ejemplo

n = 0 8⋅(17)n
Solución

Decimal Periódico

Definición

0.123 = 0.1232323...
Un decimal periódico es un decimal
que tiene una parte repetida.
Los números debajo de la barra son la parte repetida
Un decimal periódico es un número racional.
Entonces puedes cambiar un decimal periódico
a una fracción.

Ejemplo

0.123 → ¿Fracción?
Solución

Fórmula Recursiva

Ejemplo

a1 = 4, an + 1 = an + 6
a1 ~ a4 = ?
Solución

Ejemplo

a1 = -2, an + 1 = an + 3n
a1 ~ a4 = ?
Solución

Ejemplo

a1 = 1, a2 = 1, an + 2 = an + an + 1
a1 ~ a7 = ?
Esta secuencia es la sucesión de Fibonacci.

Solución

Inducción Matemática

Definición

1. Demuestre que n = 1 es cierto.
2. Asuma que n = k es cierto.
3. Demuestre que n = k + 1 es cierto.
Una inducción matemática es una
forma de probar el enunciado dado (dado).
1. Demuestre que (dado) es cierto
cuando n = 1.
2. Asuma que (given) es cierto
cuando n = k.
3. Use el (dado) cuando n = k
para demostrar que (dado) es cierto
cuando n = k + 1.
Entonces, al igual que una fórmula recursiva,
(dado) es cierto.
(dado) es cierto cuando n = 1.
→ (dado) es cierto cuando n = 1 + 1 = 2.
→ (dado) es cierto cuando n = 2 + 1 = 3.
...

Ejemplo

Demuestre el enunciado dado.
(n es un número natural)
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)2
Solución