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Suma de Riemann

Vea cómo usar la suma de Riemann
para encontrar el área bajo de la función.
2 ejemplos y sus soluciones.

Suma de Riemann

Definición

Para encontrar el área bajo y = f(x):

Sn = k = 1nf(xk)△x
1. Corta el área en n pedazos.
Y dibuja un rectángulo en cada pieza.
2. Calcula el área del k-ésimo rectángulo.
f(xk)△x.
3. Suma las áreas de los rectángulos.
f(xk)△x
Sigma (Matemática)
Sn es la suma de Riemann.

S = limn → ∞k = 1nf(xk)△x
4. Set n → ∞.

Ejemplo

Encuentra el área de la región coloreada
usando la suma de Riemann.
Solución

Tipos de Sumas de Riemann

Las sumas de Riemann pueden ser diferentes
según las alturas de los rectángulos.
Altura: f(x derecha), f(x central), f(x izquierda)
Sin el límite,
estas Sumas no son iguales.
Pero, si n → ∞,
estas sumas se vuelven iguales.

Suma de Riemann → Integral Definida

Fórmula


S = limn → ∞k = 1nf(xk)△x
= abf(x) dx
Esta es la forma de cambiar el límite de una suma de Riemann a una integral definida.
→ Integral definida: la suma del área del rectángulo en rodajas finas.
(cuando y = f(x) está por encima del eje x.)
a: Valor x cuando k = 1, n → ∞
b: Valor x cuando k = n, n → ∞

Ejemplo

Cambia la expresión dada a una integral definida.
limn → ∞k = 1nf(kn + 1)1n
Solución