Transformación Lineal
Vea cómo encontrar los puntos después de una transformación lineal.
(traslación/dilatación/reflexión/rotación matriz).
7 ejemplos y sus soluciones.
Matriz de Traslación
Fórmula
xy + ab = x + ay + b
Ejemplo
△ABC se mueve bajo de la traslación
(x, y) → (x + 4, y + 1).
Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
Solución (x, y) → (x + 4, y + 1).
Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
(x, y) → (x + 4, y + 1)
235143 + 444111 - [1]
= 2 + 43 + 45 + 41 + 14 + 13 + 1
= 679254
A'(6, 2), B'(7, 5), C'(9, 4)
235143 + 444111 - [1]
= 2 + 43 + 45 + 41 + 14 + 13 + 1
= 679254
A'(6, 2), B'(7, 5), C'(9, 4)
[1]
Escribe la matriz de vértices.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
→ 235143
Sume la matriz de traslación.
(x, y) → (x + 4, y + 1)
→ 444111
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
→ 235143
Sume la matriz de traslación.
(x, y) → (x + 4, y + 1)
→ 444111
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Matriz de Dilatación
Fórmula
kI xy = x'y'
Ejemplo
△ABC se mueve bajo la dilatación de 2.
Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
Solución Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
2I 235143
= 2 235143
= 4610286
A'(4, 2), B'(6, 8), C'(10, 6)
= 2 235143
= 4610286
A'(4, 2), B'(6, 8), C'(10, 6)
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Matriz de Reflexión: Eje x
Fórmula
100-1 xy = x'y'
Ejemplo
△se mueve bajo de la reflexión en el eje x.
Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
Solución Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
100-1 235143
= 1⋅2 + 0⋅11⋅3 + 0⋅41⋅5 + 0⋅30⋅2 + (-1)⋅10⋅3 + (-1)⋅40⋅5 + (-1)⋅3 - [1]
= 2 + 03 + 05 + 00 - 10 - 40 - 3
= 235-1-4-3
A'(2, -1), B'(3, -4), C'(5, -3)
= 1⋅2 + 0⋅11⋅3 + 0⋅41⋅5 + 0⋅30⋅2 + (-1)⋅10⋅3 + (-1)⋅40⋅5 + (-1)⋅3 - [1]
= 2 + 03 + 05 + 00 - 10 - 40 - 3
= 235-1-4-3
A'(2, -1), B'(3, -4), C'(5, -3)
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Matriz de Reflexión: Eje y
Fórmula
-1001 xy = x'y'
Ejemplo
△se mueve bajo de la reflexión en el eje y.
Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
Solución Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
-1001 235143
= -1⋅2 + 0⋅1-1⋅3 + 0⋅4-1⋅5 + 0⋅30⋅2 + 1⋅10⋅3 + 1⋅40⋅5 + 1⋅3 - [1]
= -2 + 0-3 + 0-5 + 00 + 10 + 40 + 3
= -2-3-5143
A'(-2, 1), B'(-3, 4), C'(-5, 3)
= -1⋅2 + 0⋅1-1⋅3 + 0⋅4-1⋅5 + 0⋅30⋅2 + 1⋅10⋅3 + 1⋅40⋅5 + 1⋅3 - [1]
= -2 + 0-3 + 0-5 + 00 + 10 + 40 + 3
= -2-3-5143
A'(-2, 1), B'(-3, 4), C'(-5, 3)
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Matriz de Reflexión: Origen
Fórmula
-I xy = x'y'
Ejemplo
△ABC se mueve bajo del reflejo en el origen.
Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
Solución Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
-I 235143
= - 235143
= -2-3-5-1-4-3
A'(-2, -1), B'(-3, -4), C'(-5, -3)
= - 235143
= -2-3-5-1-4-3
A'(-2, -1), B'(-3, -4), C'(-5, -3)
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Matriz de Reflexión: y = x
Fórmula
0110 xy = x'y'
Ejemplo
△ABC se mueve bajo de la reflexión en y = x.
Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
Solución Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 1), B(3, 4), C(5, 3)
0110 235143
= 0⋅2 + 1⋅10⋅3 + 1⋅40⋅5 + 1⋅31⋅2 + 0⋅11⋅3 + 0⋅41⋅5 + 0⋅3 - [1]
= 0 + 10 + 40 + 32 + 03 + 05 + 0
= 143235
A'(1, 2), B'(4, 3), C'(3, 5)
= 0⋅2 + 1⋅10⋅3 + 1⋅40⋅5 + 1⋅31⋅2 + 0⋅11⋅3 + 0⋅41⋅5 + 0⋅3 - [1]
= 0 + 10 + 40 + 32 + 03 + 05 + 0
= 143235
A'(1, 2), B'(4, 3), C'(3, 5)
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Matriz de Rotación
Fórmula
cos θ-sin θsin θcos θ xy = x'y'
Ejemplo
△ABC se mueve bajo la rotación de 60º en sentido antihorario sobre el origen.
Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 2), B(4, 2), C(4, 4)
Solución Encuentra los vértices del triángulo △A'B'C' movido.
A(2, 2), B(4, 2), C(4, 4)
cos 60º-sin 60ºsin 60ºcos 60º 244224
= 12-√32√3212 244224 - [1]
= 12 1-√3√31 244224
= 1-√3√31 122112
= 1⋅1 + (-√3)⋅11⋅2 + (-√3)⋅11⋅2 + (-√3)⋅2√3⋅1 + 1⋅1√3⋅2 + 1⋅1√3⋅2 + 1⋅2 - [2]
= 1 - √32 - √32 - 2√3√3 + 12√3 + 12√3 + 2
= 1 - √32 - √32 - 2√31 + √31 + 2√32 + 2√3
A'(1 - √3, 1 + √3)
B'(2 - √3, 1 + 2√3)
C'(2 - 2√3, 2 + 2√3)
= 12-√32√3212 244224 - [1]
= 12 1-√3√31 244224
= 1-√3√31 122112
= 1⋅1 + (-√3)⋅11⋅2 + (-√3)⋅11⋅2 + (-√3)⋅2√3⋅1 + 1⋅1√3⋅2 + 1⋅1√3⋅2 + 1⋅2 - [2]
= 1 - √32 - √32 - 2√3√3 + 12√3 + 12√3 + 2
= 1 - √32 - √32 - 2√31 + √31 + 2√32 + 2√3
A'(1 - √3, 1 + √3)
B'(2 - √3, 1 + 2√3)
C'(2 - 2√3, 2 + 2√3)
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