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Volumen de un Sólido de Revolución

Vea cómo encontrar el volumen de un sólido de revolución
(método de discos, método de arandelas).
5 ejemplos y sus soluciones.

Sólido de Revolución

Definición

El sólido de revolución es una figura 3D
formada al girar una figura 2D (recta, curva ...)
alrededor de un eje.

Método de Discos

Fórmula


V = abπy2 dx
V = abS(x) dx
= abπy2 dx
Área de sección transversal S(x): πy2
La forma de πy2 es un disco. (= círculo)
→ Método de discos

Volumen por Secciones Transversales
Área de un Círculo

V = abπx2 dy
Área de sección transversal S(y): πx2

Ejemplo

Una región está limitada por
y = x4, x = 1, y el eje x.
Si la región se gira alrededor del eje x,
encuentre el volumen del sólido de revolución.
Solución

Ejemplo

Una región está limitada por
y = x4, x = 1, y el eje y.
Si la región se gira alrededor del eje y,
encuentre el volumen del sólido de revolución.
Solución

Ejemplo

Demuestre la fórmula del volumen de una esfera.
V = 43πr3
(r: Radio de la esfera)
Solución

Método de Arandelas

Fórmula

Para encontrar el sólido de revolución que tiene un espacio vacío,
encontrar el volumen del sólido exterior de revolución,
entonces reste el volumen del sólido interior de revolución.

V = abπ(y1)2 dx - abπ(y2)2 dx
Área de sección transversal: π(y1)2 - π(y2)2
La forma es una arandela: ⭗
→ Método de Arandelas

Ejemplo

Una región está limitada por
y = ex, la tangente de y = ex en (1, e), y el eje y.
Si la región se gira alrededor del eje x,
encuentre el volumen del sólido de revolución.
Solución

Ejemplo

Una región está limitada por
y = 2√x - 1, la tangente de la función en (2, 2) y el eje x.
Si la región se gira alrededor del eje x,
encuentre el volumen del sólido de revolución.
Solución