गुणनखण्ड
देखें कि बहुपद का गुणनखंड कैसे किया जाता है।
25 उदाहरण और उनके समाधान।
किसी संख्या के गुणनखंड कैसे ज्ञात करें
उदाहरण
30. के गुणनखंड
समाधान 30 = 1⋅30- [1]
= 2⋅15- [2]
= 3⋅10
= 4⋅7.5- [3]
= 5⋅6
(गुणनखंड) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
= 2⋅15- [2]
= 3⋅10
= 4⋅7.5- [3]
= 5⋅6
(गुणनखंड) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
[1]
1 और 30 प्राकृत संख्याएँ हैं।
अतः 1 और 30, 30 के गुणनखंड हैं।
अतः 1 और 30, 30 के गुणनखंड हैं।
[2]
वैसे ही, 2 और 15, 30 के गुणनखंड हैं।
[3]
7.5 एक प्राकृत संख्या नहीं है।
अतः 4 और 7.5 30 के गुणनखंड नहीं हैं।
अतः 4 और 7.5 30 के गुणनखंड नहीं हैं।
बंद करें
उदाहरण
16. के गुणनखंड
समाधान 16 = 1⋅16
= 2⋅8
= 3⋅163
= 4⋅4
(गुणनखंड) = 1, 2, 4, 8, 16
= 2⋅8
= 3⋅163
= 4⋅4
(गुणनखंड) = 1, 2, 4, 8, 16
बंद करें
अभाज्य संख्या
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
एक अभाज्य संख्या एक संख्या होती है
जिसके केवल दो गुणनखंड होते हैं:
1 और स्वयं।
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
अभाज्य संख्याएँ हैं।
1 का केवल एक गुणनखंड है: 1।
अतः 1 एक अभाज्य संख्या नहीं है।
प्रधानीय कारन निकालना
उदाहरण
60. का प्रधान गुणनखंडन
समाधान 60 = 6⋅10
= 2⋅3⋅2⋅5
= 22⋅3⋅5
= 2⋅3⋅2⋅5
= 22⋅3⋅5
60 को दो कारकों के उत्पाद में बदलें: 6⋅10.
इसे तब तक दोहराएं जब तक कि केवल अभाज्य संख्याएँ न रह जाएँ।
इसे तब तक दोहराएं जब तक कि केवल अभाज्य संख्याएँ न रह जाएँ।
बंद करें
उदाहरण
200. का प्रधान गुणनखंडन
समाधान 200 = 2⋅100
= 2⋅10⋅10
= 2⋅2⋅5⋅2⋅5
= 23⋅52
= 2⋅10⋅10
= 2⋅2⋅5⋅2⋅5
= 23⋅52
बंद करें
महत्तम समापवर्तक
उदाहरण
18 और 60. का HCF
समाधान 18 = 3⋅6
= 3⋅2⋅3
= 2⋅32
60 = 6⋅10
= 2⋅3⋅2⋅5
= 22⋅3⋅5
18 = 2⋅32
60 = 22⋅3⋅5
(HCF) = 2⋅3- [1]
= 6
= 3⋅2⋅3
= 2⋅32
60 = 6⋅10
= 2⋅3⋅2⋅5
= 22⋅3⋅5
18 = 2⋅32
60 = 22⋅3⋅5
(HCF) = 2⋅3- [1]
= 6
[1]
समान आधार शक्तियों की तुलना करें और HCF में कम घातांक शक्ति लिखें।
बंद करें
उदाहरण
6a3c और 2a2bc2 का HCF
समाधान 6a3c = 2⋅3⋅a3⋅c2
2a2bc2 = 2⋅a2⋅b⋅c2
(HCF) = 2a2c
2a2bc2 = 2⋅a2⋅b⋅c2
(HCF) = 2a2c
बंद करें
न्यूनतम समापवर्तक
उदाहरण
18 और 60. का LCM
समाधान 18 = 3⋅6
= 3⋅2⋅3
= 2⋅32
60 = 6⋅10
= 2⋅3⋅2⋅5
= 22⋅3⋅5
18 = 2⋅32
60 = 22⋅3⋅5
(LCM) = 22⋅32⋅5- [1]
= 4⋅9⋅5
= 20⋅9
= 180
= 3⋅2⋅3
= 2⋅32
60 = 6⋅10
= 2⋅3⋅2⋅5
= 22⋅3⋅5
18 = 2⋅32
60 = 22⋅3⋅5
(LCM) = 22⋅32⋅5- [1]
= 4⋅9⋅5
= 20⋅9
= 180
[1]
समान आधार शक्तियों की तुलना करें और LCM में अधिक से अधिक घातांक लिखिए।
बंद करें
उदाहरण
6a3c और 2a2bc2 का LCM
समाधान 6a3c = 2⋅3⋅a3⋅c2
2a2bc2 = 2⋅a2⋅b⋅c2
(LCM) = 2⋅3⋅a3⋅b⋅c2
= 6a3bc2
2a2bc2 = 2⋅a2⋅b⋅c2
(LCM) = 2⋅3⋅a3⋅b⋅c2
= 6a3bc2
बंद करें
गुणनखंड: उभयनिष्ट गुणक
उदाहरण
x3 + 3x
समाधान x3 + 3x
= x(x2 + 3)
= x(x2 + 3)
पहले x3 और +3x का HCF लिखिए: x.
x3/x = x2
+3x/x = +3
x3/x = x2
+3x/x = +3
बंद करें
उदाहरण
a2 - 2ab + 4a
समाधान a2 - 2ab + 4a
= a(a - 2b + 4)
= a(a - 2b + 4)
पहले a2, -2ab, +4a का HCF लिखिए: a.
a2/a = a
-2ab/a = -2a
+4a/a = +4
a2/a = a
-2ab/a = -2a
+4a/a = +4
बंद करें
गुणनखंड: ग्रुपिंग
उदाहरण
a2 - 2a + 5a - 10
समाधान a2 - 2a + 5a - 10
= a(a - 2) + 5(a - 2)- [1]
= (a + 5)(a - 2)
= a(a - 2) + 5(a - 2)- [1]
= (a + 5)(a - 2)
[1]
बहुपद को दो समूहों में विभाजित करें,
a2 - 2a और 5a - 10,
और गुणनखंड करना प्रत्येक समूह।
a2 - 2a और 5a - 10,
और गुणनखंड करना प्रत्येक समूह।
बंद करें
उदाहरण
x2 - 4xy - 3x + 12y
समाधान x2 - 4xy - 3x + 12y
= x(x - 4y) - 3(x - 4y)
= (x - 3)(x - 4y)
= x(x - 4y) - 3(x - 4y)
= (x - 3)(x - 4y)
बंद करें
गुणनखंड: द्विघात त्रिपद
उदाहरण
x2 + 3x + 2
समाधान x2 + 3x + 2
1⋅2 = +2
1 + 2 = +3- [1]
= (x + 1)(x + 2)- [2]
1⋅2 = +2
1 + 2 = +3- [1]
= (x + 1)(x + 2)- [2]
[1]
संख्याओं का एक ऐसा युग्म चुनें जिसका गुणनफल +2 हो और जिसका योग +3 हो।
1, 2 इन शर्तों को पूरा करते हैं।
1, 2 इन शर्तों को पूरा करते हैं।
[2]
उत्तर लिखने के लिए +1 और +2 का प्रयोग करें।
बंद करें
उदाहरण
x2 - 5x + 6
समाधान x2 - 5x + 6
-2⋅(-3) = +6
-2 + (-3) = -5- [1]
= (x - 2)(x - 3)- [2]
-2⋅(-3) = +6
-2 + (-3) = -5- [1]
= (x - 2)(x - 3)- [2]
[1]
संख्याओं का एक ऐसा युग्म चुनें जिसका गुणनफल +6 हो और जिसका योग -5 हो।
-2, -3 इन शर्तों को पूरा करते हैं।
-2, -3 इन शर्तों को पूरा करते हैं।
[2]
उत्तर लिखने के लिए -2 और -3 का प्रयोग करें।
बंद करें
उदाहरण
x2 - x - 12
समाधान x2 - x - 12
3⋅(-4) = -12
3 + (-4) = -1- [1]
= (x + 3)(x - 4)- [2]
3⋅(-4) = -12
3 + (-4) = -1- [1]
= (x + 3)(x - 4)- [2]
[1]
संख्याओं का एक ऐसा युग्म चुनें जिसका गुणनफल -12 हो और जिसका योग -1 हो।
3, -4 इन शर्तों को पूरा करते हैं।
3, -4 इन शर्तों को पूरा करते हैं।
[2]
उत्तर लिखने के लिए +3 और -4 का प्रयोग करें।
बंद करें
उदाहरण
x2 + 5xy - 24y2
समाधान x2 + 5xy - 24y2
-3⋅8 = -24
-3 + 8 = +5- [1]
= (x - 3)(x + 8)- [2]
-3⋅8 = -24
-3 + 8 = +5- [1]
= (x - 3)(x + 8)- [2]
[1]
संख्याओं का एक ऐसा युग्म चुनें जिसका गुणनफल -24 हो और जिसका योग +5 हो।
-3, 8 satisfy these conditions.
-3, 8 satisfy these conditions.
[2]
उत्तर लिखने के लिए -3 और +8 का प्रयोग करें।
बंद करें
उदाहरण
2x2 + 7x + 6
समाधान 2x2 + 7x + 6
3⋅2 = +6
3 + 2⋅2 = +7- [1]
= (2x + 3)(x + 2)- [2]
3⋅2 = +6
3 + 2⋅2 = +7- [1]
= (2x + 3)(x + 2)- [2]
[1]
संख्याओं का एक ऐसा युग्म चुनें जिसका गुणनफल +6 हो और जिसका योग नीचे दिया गया हो।
[संख्या 1] + 2⋅[संख्या 2] = +7.
3, 2 इन शर्तों को पूरा करते हैं।
[संख्या 1] + 2⋅[संख्या 2] = +7.
3, 2 इन शर्तों को पूरा करते हैं।
[2]
उत्तर लिखने के लिए +3 और +2 का प्रयोग करें।
2 सामने वाले हिस्से में होना चाहिए।
2 सामने वाले हिस्से में होना चाहिए।
बंद करें
गुणनखंड a2 ± 2ab + b2
सूत्र
a2 ± 2ab + b2
= (a ± b)2
= (a ± b)2
उदाहरण
x2 + 6x + 9
समाधान x2 + 6x + 9
= x2 + 2⋅x⋅3 + 32
= (x + 3)2
= x2 + 2⋅x⋅3 + 32
= (x + 3)2
बंद करें
उदाहरण
x2 - 10x + 25
समाधान x2 - 10x + 25
= x2 - 2⋅x⋅5 + 52
= (x - 5)2
= x2 - 2⋅x⋅5 + 52
= (x - 5)2
बंद करें
गुणनखंड a2 - b2
सूत्र
a2 - b2
= (a + b)(a - b)
= (a + b)(a - b)
उदाहरण
x2 - 81
समाधान x2 - 81
= x2 - 92
= (x + 9)(x - 9)
= x2 - 92
= (x + 9)(x - 9)
बंद करें
उदाहरण
16a2 - 49b2
समाधान 16a2 - 49b2
= (4a)2 - (7b)2
= (4a + 7b)(4a - 7b)
= (4a)2 - (7b)2
= (4a + 7b)(4a - 7b)
बंद करें
उदाहरण
x4 - 1
समाधान x4 - 1
= (x2)2 - 12
= (x2 + 1)(x2 - 1)
= (x2 + 1)(x2 - 12)
= (x2 + 1)(x + 1)(x - 1)
= (x2)2 - 12
= (x2 + 1)(x2 - 1)
= (x2 + 1)(x2 - 12)
= (x2 + 1)(x + 1)(x - 1)
बंद करें
गुणनखंड a3 + b3
सूत्र
a3 + b3
= (a + b)(a2 - ab + b2)
= (a + b)(a2 - ab + b2)
उदाहरण
x3 + 8
समाधान x3 + 8
= x3 + 23
= (x + 2)(x2 - x⋅2 + 22)
= (x + 2)(x2 - 2x + 4)
= x3 + 23
= (x + 2)(x2 - x⋅2 + 22)
= (x + 2)(x2 - 2x + 4)
बंद करें
गुणनखंड a3 - b3
सूत्र
a3 - b3
= (a - b)(a2 + ab + b2)
= (a - b)(a2 + ab + b2)
उदाहरण
x3 - 125
समाधान x3 - 125
= x3 - 53
= (x - 5)(x2 + x⋅5 + 52)
= (x - 5)(x2 + 5x + 25)
= x3 - 53
= (x - 5)(x2 + x⋅5 + 52)
= (x - 5)(x2 + 5x + 25)
बंद करें
उदाहरण
x6 - 1
समाधान x6 - 1
= (x3)2 - 12
= (x3 + 1)(x3 - 1)
= (x3 + 13)(x3 - 13)
= (x + 1)(x2 - x⋅1 + 12)(x - 1)(x2 + x⋅1 + 12)
= (x + 1)(x2 - x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)
= (x3)2 - 12
= (x3 + 1)(x3 - 1)
= (x3 + 13)(x3 - 13)
= (x + 1)(x2 - x⋅1 + 12)(x - 1)(x2 + x⋅1 + 12)
= (x + 1)(x2 - x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)
बंद करें